Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Ц.9. Производная неявной функции от одной переменной
297
в общем случае имеет вид
F(x,y)=0. (14.3)
Здесь F(x,y) есть функция двух переменных, заданная в какой-либо области. Если для каждого значения х из некоторого промежутка существует одно или несколько значений у, которое совместно с х удовлетворяют уранению (14.3), то этим определяется, однозначная или многозначная, функция у = f(x), для которой равенство
F(x,f(x)) = 0 (14.4)
имеет место уже тождественно относительно х. Рассмотрим, например, уравнение
х2 + у2-1 = 0.
Уравнение определяет двузначную функцию от ж в промежутке [—1,1], а именно
у = \J\ — х2 .
Если вместо у подставить эту функцию в уравнение (14.3), то получится тождество.
Здесь удалось найти для у очень простое аналитическое выражение через х, даже в элементарных функциях. Однако так обстоит дело не всегда. Например, если взять уравнение
у — х — е sin у = О (0 < е < 1),
то этим уравнением переменная у не выражается в конечном виде через элементарные функции от х.
Функция у = f(x) называется неявной, если она задана посредством неразрешенного (относительно у) уравнения (14.3); она становится явной, если рассматривается непосредственная зависимость у от х. Ясно, что эти термины характеризуют лишь способ задания функции у = f(x) и не имеют отношения к ее природе.
В простейшем случае, когда уравнение (14.3) — алгебраическое, т. е. когда функция F(x,y) есть полином относительно х и у, определяемое им неявная функция у от х (вообще многозначная) называется алгебраической. Если степень уравнения (относительно у) не выше четырех, то алгебраическая функция допускает явное выражение в радикалах; при степени выше четырех такое выражение возможно лишь в виде исключения.
298
Гл. Ц. Частные производные
Полезна следующая
Теорема. Пусть для функции F(x,y) выполнены следующие условия:
1) F(x,y) определена и непрерывна в прямоугольнике
D = [х0 - А, х0 + А; у0 - А7, у0 + А7]
с центром в точке (жо, У о) 5
2) частные производные F'x и F'y существуют и непрерывны в D]
3) F(x0,y0)=0;
4) производная F^(#o, Уо) отлична от нуля.
Тогда в некоторой окрестности точки (жо?Уо) уравнение (14.3) определяет у как однозначную функцию у = /(ж), которая имеет непрерывную производную ух; при х = xq эта функция принимает значение у о.
Теорема однако не дает представления о способе вычисления производной от неявной функции ух. А это очень важно в социально-экономических исследованиях, так как использование производной позволяет более детально исследовать функцию: определить интервалы ее возрастания и убывания, найти точки минимума и максимума. Поэтому ниже приводится простой прием, с помощью которого можно легко находить производную от неявной функции.
Пусть выполнены условия теоремы. Согласно определению неявной функции у = f(x) удовлетворяет уравнению (14.3). Левая часть этого уравнения представляет собой сложную функцию от ж, которая тождественно равна нулю. Тогда и производная ее по х также есть нуль. Воспользовавшись формулой (14.1) дифференцирования сложной функции, получаем
dF^_dF^ d^+dF_ dy__dF^+dF_ dy_ dx дх dx dy dx dx dy dx
Так как производная правой части (14.3) равна нулю, а производ-
dF
ная левой части равна ——, то имеем
dx
dF dF dy ^ --1--• — — ().
дх ду dx '
или, в других обозначениях,
К + Ку'х = 0, (14-5)
Ц.9. Производная неявной функции от одной переменной
299
откуда (так как F'
Ф 0) имеем
(14.6)
Эта формула выражает правило дифференцирования неявной функции у от переменной х.
Если функция F(x,y) имеет еще и непрерывные производные второго порядка, то выражение, стоящее в равенстве (14.6) справа, может быть продифференцировано по ж, следовательно существует и вторая производная ухх от неявной функции у.
После того как факт второй производной установлен, их вычисление производится путем повторного дифференцирования тождества (14.5) с учетом того, что у является функцией от х. Дифференцирование тождества (14.5) дает
Аналогичные формулы легко получить и в случае других частных производных высшего порядка, и в случае уравнения F(xi, Ж2, ... , хп, у) = 0 с большим числом переменных.
V Пример. Неявная функция задана уравнением
Найти у'х и у"х.
Решение. Дифференцируя последовательно по х (причем у считаем функцией от ж), получим
х + УУ' _ ху' -у
х2 + у2 ~ х2 + у2
р" + . у' I (р" +f" .у'\.у' + F' • v" = 0
± хх * ± ху Ух * \± ху * ± уу Ух) Ух * у Ухх
откуда (так как F' ф 0) имеем
2 + У2 — arctg — = 0.
или
х + уу'
ху - у;
затем
1 + Ы)2 + Уу" = ху".
300
Гл. Ц. Частные производные
Из первого уравнения находим
из второго (если подставить найденное значение у1)
/ = !±^ = 2^±4. ^
х-у (х-уУ
Задача. Неявная функция задана уравнением F(x, у) = ху - ух = 0, {хфу).
Найти
ах
ответ:^ = -^1
dx хЛ(1-\пу)
14.10. Двойной и тройной интегралы
При изучении функций одной переменной было введено понятие определенного интеграла. Оно определялось как предел интегральных сумм.
Для функции двух переменных можно ввести понятие двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом и обозначается так:
