Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
/(ж, y)dxdy.
D
Если определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции выражает площадь криволинейной трапеции, то двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции равен объему тела, построенного на области D плоскости хОу как на основании и ограниченного сверху поверхностью z = /(ж, у). Этот объемный аналог криволинейной трапеции называют цилиндроидом.
Для функции трех переменных аналогично вводится понятие тройного интеграла, а в общем случае, для функции п переменных, определяют кратный интеграл.
В случае простейших тел, кратные интегралы удается свести к повторным и вычислить их с помощью определенного интеграла.
Покажем, как это делается в случае двойного интеграла.
14-Ю. Двойной и тройной интегралы
301
Множество D на плоскости хОу называется элементарным относительно оси Ох, если его граница состоит из графиков двух непрерывных функций д(х) и h(x), определенных на некотором отрезке [а, Ь] и таких, что
д(х) ^
0
у = Кх)
Рис. 14.6. Множество элементарное относительно оси Ох
и отрезков прямых х = а и х = b (рис. 14.6).
Двойной интеграл по элементарному множеству D может быть вычислен с помощью теоремы, представляющей собой двумерный аналог формулы Ньютона-Лейбница.
Теорема. Если функция z = f(x, у) непрерывна на элементарном множестве D, то
f(x, y)dxdy =
fh(x)
D
\
/(я, y)dy
a \g(x)
dx.
)
(14.7)
Интеграл, стоящий в правой части (14.7), называется повторным интегралом. Иногда он записывается также в виде
h(x)
dx
f(x, y)dy.
V Пример. Вычислить двойной интеграл
г»
(10-х2 -у2) dx dy,
D
если область D есть прямоугольник, стороны которого определены уравнениями
х = 1:
х = 2;
у = 0; у = 2.
302
Гл. Ц. Частные производные
Решение. Применим формулу (14.7):
2 /2
(10-х2 -у2) dx dy =
D
\
f{x, y)dy
i \о
dx.
)
Вычислим внутренний интеграл; при интегрировании считаем х постоянной величиной:
(10 - ж2 - у2) dy = Ыу-х2у-У-
у=2 У=0
52
з У
= 20-2Ж2-? = ^-2Ж2.
Тогда
(10-х2 -у2) dx dy =
— -2х2) dx =
D
52 2r
38
Задача 1. Вычислить двойной интеграл (х2 + у2 + 2) dx dy,
D
если область D есть прямоугольник, стороны которого определены уравнениями
х = 2; х = 4; ;// = 0: 2/ = 3. Ответ: 86.
Задача 2. Вычислить двойной интеграл (х2 + у2 + 2) dx dy,
D
если область D есть прямоугольник, стороны которого определены уравнениями
х = 0; х = 1; г/ = 0; ?у = 2. Ответ: 14.
14-11- Компьютерные вычисления .
303
14.11. Компьютерные вычисления частных производных и кратных интегралов
Для вычисления частных производных в Maple используется команда
Здесь ехрг — выражение, зависящее от переменных xl, х2, ..., a nl, п2, ... — порядки дифференцирования по соответствующим переменным.
V Пример 1. Найти частные производные z'x, zxy и zfyy функции от двух переменных z = 5Х'У. Решение.
> z:=5~(x*y): diff(z,x); diff(z,x,y); diff(z,y$2);
5xyy In 5,
5xyx(ln5)2 + 5xy In 5,
Для компьютерного вычисления двойных, тройных и т. д. интегралов нужно применить несколько раз команду
int(f(х),х=а..Ь),
рассмотренную при изучении определенного интеграла. V Пример 2. Вычислить повторный интеграл:
> diff(expr,xl$nl,x2$n2,...);
5хух2 (1п5)2.
А
(x2 + y2 + 2)dy dx.
J
2 \0
Решение.
> int(int(x~2+y'42+2,y=0. .3) ,х=2. .4);
86. А
V Пример 3. Вычислить повторный интеграл:
4 /х \
-» г
(ж2 + у2 + 2) dy dx.
2 \0 /
304
Гл. Ц. Частные производные
Решение.
> int(int(x~2+y~2+2,y=0..х),х=2..4); 92. А
Несколько команд интегрирования имеется в библиотеке student, которую предварительно нужно подключить при помощи with (student) . В библиотеке student имеется, например, команда Tripleint (f ,х,у,z) для вычисления тройного интеграла.
V Пример 4. Вычислить интеграл:
2 л/4ж~2/2
dx
dy
х dz.
Решение. Подключаем библиотеку student: > with(student);
Записываем тройной интеграл
> Tripleint(x,z=0..sqrt(4*х-у~2),у=0..2*sqrt(x),х=0..2);
Вычисляем
> value(");
Если поручить двум людям, один из которых — математик, выполнение любой незнакомой работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает ее лучше.
Г. Штейнгауз
Глава 15 Оптимизационные задачи
15.1. Экстремум функции двух переменных
Внутренняя область каждого круга с центром Р$(х$, уо) и радиусом 8 > О называется окрестностью точки Ро(#о? уо).
Рассмотрим функцию z = /(ж, у), непрерывную в окрестности точки Pi (х\, у\). Строгим максимумом (строгим локальным максимумом) функции z = f(x, у) называется такое ее значение /(#i,yi), которое больше всех других значений, принимаемых в точках Р(ж,у), достаточно близких к точке Pi(#i,yi) и отличных от нее (рис. 15.1), т. е.
f(xi,yi) > f(x,y).
Пусть функция z = /(ж, у), непрерывна в окрестности точки Р2(#2,У2)- Строгим минимумом (строгим локальным минимумом) функции z = /(ж, у) называется такое ее значение /(ж2,У2) в точке Р2(х2-> у2)? которое меньше всех других значений, принимаемых в точках Р(ж, у), достаточно близких к точке Р2(х2-> у2) и отличных от нее (рис. 15.1), т. е.
/(ж2, Ы < /(ж, у).
Если рассмотренные выше неравенства являются нестрогими, то говорят о нестрогих локальных максимуме и минимуме соответственно.
