Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Следует отметить, что выбор в качестве отклонения S эмпирических точек (ж^, yi) от точек кривой у = f(x) именно суммы квадратов погрешностей впервые предложил французский математик Лежандр. В принципе можно было взять в качестве S сумму погрешностей Si или сумму их абсолютных величин \ei\.
п
Но делать это нецелесообразно, так как в первом случае ^2 ?i
t=l
может быть малой или даже равняться нулю при значительном разбросе эмпирических точек, так как положительные отклонения Si компенсируются отрицательными. Во втором случае
п
функция YI \?г | лишена этого недостатка, однако имеет другой —
г=1
11*
324
Гл. 15. Оптимизационные задачи
она не является дифференцируемой, что существенно затрудняет решение задачи.
Пусть в качестве функции у = f(x) взята линейная функция у = ах + Ь. Задача сводится к отысканию таких параметров а и 6, при которых функция
S = ^2(axi + b-y
t=l
принимает наименьшее значение. Заметим, что S можно рассматривать как функцию от двух неизвестных параметров а и Ь. Подберем коэффициенты а и b так, чтобы функция S получила возможно меньшее значение. Для этого необходимо, чтобы соблюдались условия
^ = 0 ^ = 0
да ' дЬ
Отсюда
п п
^2 %(aXi + Ь- Уг)Хг = 0, ^ 2(ахг + Ь - Уг) = 0.
t=l г=1
После алгебраических преобразований эта система принимает вид
/ п \ / п \ п
2 хча + 2 хч6 = SXi у^
Ki=l / \i=l / i=l
/ п \ п
У г
^Xi \ a + nb = ^yi
Ki=i I i=i
Эта система называется системой нормальных уравнений. Она имеет единственное решение, так как ее определитель
п / п \ 2
D = nY,*2i- Еж0 >0
г=1 \г=1
(что можно доказать методом математической индукции при п ^ 2).
Убедимся, что найденные значения дают минимум функции S = S(a, b). Найдем частные производные
п п
t = l 1 = 1
15.5. Метод наименьших квадратов
325
Поскольку
п / п \ 2
A = AB-C2 = nY,x2i-[Y,x4 >0
г=1 \г=1 /
и
д = $>?>о,
г=1
то согласно достаточному условию экстремума функция S = = S(a, b) имеет единственную точку минимума, определяемую из системы нормальных уравнений. Причем эта точка является точкой глобального минимума, поскольку она является единственной критической точкой.
Линейная зависимость. Значительный интерес представляет дифференциация по возрастным группам населения. Зная различия состава потребления в зависимости от возраста, можно предвидеть изменения спроса на основании ожидаемых изменений в составе населения. Известно, например, что потребление молока больше в тех семьях, в составе которых имеется по нескольку детей, и меньше в тех, где детей нет. Требуется определить как зависит среднедушевое потребление в семье у от количества детей х (в % ).
Чтобы получить представление об изменении у в зависимости от х были собраны статистические данные, результаты которых занесены в следующую таблицу.
Группы по Число Литров
проценту детей молока
детей в % на душу
0 0 3,0
0 23 19 6,8
23-46 40 7,1
46-69 60 8,1
69-92 74 11,2
Всего 40 -
Теперь нужно найти формулу зависимости у от х. Как уже было отмечено выше, эта задача разбивается на два этапа. На первом этапе нужно установить вид зависимости у = /(ж), а на втором — определить неизвестные параметры этой функции.
326
Гл. 15. Оптимизационные задачи
Первый этап. Величина у выражает среднее душевое потребление в семье, т. е. отношение общего числа литров потребляемого молока к числу членов семьи. Если число детей и, а взрослых г>, среднее потребление молока для детей уи, а взрослых yv, то общее душевое потребление составит
_ uyu + vyv _ иуи vyv _ иуи (v + u-u)yv
и + V и + V и + V и + V и + V
Или, если относительное число детей —-— обозначить х и выде-
и + v
лить слагаемое yVl то
У = (Уи ~Уу)х + Уу
Отсюда видно, что при данных уи и yv величина у представляет собой линейную функцию относительно числа детей. Это же подтверждается и графическим расположением точек (xi,yi).
Второй этап. Определим неизвестные параметры а и b линейной зависимости
у = ах + Ь.
Для этого вычислим все суммы ^ xi Е^2) S У? ^2ХУ-
X У х2 ху
0 3,0 0 0
19 6,8 361 129,2
40 7,1 1 600 284,0
60 9,8 3 600 528,0
74 11,2 5 476 828,8
193 36,6 11 037 11 770,0
Подставим эти значения в систему нормальных уравнений:
193а+ 56 = 36,9, 11037а + 1936 = 1770,0. Решив эту систему, получим:
а = 0,0964, Ъ = 3,66.
Это дает
/(ж) = 0,0964ж + 3,66.
15.5. Метод наименьших квадратов
327
В частности, если х = 0 (детей нет), получаем показатель для взрослых 3,66. Если же х = 100 (нет взрослых), получаем показатель для детей
0,0964-100 + 3,66 = 13,30.
Линейная зависимость характерна также и для других случаев. Статистические исследования показывают, например, что реальный объем потребления у (в млрд долларов, 1982 г.) в США в период за 1931-1990 гг. зависел от численности населения в США х (120 < х < 250 млн чел.) линейно (причем, формула зависимости, найденная методом наименьших квадратов, имеет вид: у = —1817,3 + 16,7х). Объем частного потребления у (млрд долларов, 1982 г.) от располагаемого дохода х (млрд долларов, 1600 < х < 2900) в США в 1971-1990 гг. выражался зависимостью у = —217,6 + 1,007ж.
