Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Если f'(x) < 0 для всех х из данного промежутка, то f'(c) < < 0. Из этого неравенства и (9.1) следует, что f(x2) — f(x\) < 0 при х2 — х\ > 0, т. е. f{x\) > f(x2), когда х\ < х2. Это означает, что функция строго убывает в данном промежутке. ¦
Геометрический смысл теоремы. Если в некотором промежутке касательная к графику функции у = f(x) образует с осью Ох острый угол a (tga > 0), то функция строго возрастает в этом промежутке. Если касательная к графику функции у = = f(x) образует с осью Ох тупой угол a (tga < 0), то функция строго убывает (рис. 9.1).
Из теорем 1 и 2 следует достаточное условие «нестрогой» монотонности: если в промежутке X производная функции неотрицательна, то функция возрастает на этом промежутке; если производная неположительна, то функция убывает в соответствующем промежутке.
V Пример 1. Найти промежутки строгого возрастания и строгого убывания функции f(x) = х3-Зж.
Решение. Находим производную функции
Если х < — 1 и ж > 1, то f'(x) > 0; функция строго возрастает в интервалах (—оо, —1), (1, +оо). Если — 1 < х < 1, то f'(x) < 0; функция строго убывает в интервале (—1, 1). А
f'(x) = 3 х2 - 3 = 3 (х + 1) (х - 1).
142
Гл. 9. Исследование функций
т
1
x
/'(О) =0 д'(0) = оо ^(О) не существует
Рис. 9.2. Возрастающие функции V Пример 2. На рис. 9.2 изображены три функции:
при х ^ 0, х, при х > 0.
1)/(Ж) = Ж3; 2)5(Ж) = Ж1/3; 3)^) = {з;
Эти функции непрерывны везде. При ж 7^ 0 их производные существуют и положительны; в то время как /'(О) = 0 (касательная горизонтальна), д'(0) = оо (касательная вертикальна), ^'(О) не существует (касательной нет). Однако все три функции строго возрастают при всех х. Тем самым установлено, что неравенство f'(x) > 0 является достаточным, но не необходимым условием строгого возрастания функции f(x). А
Для дифференцируемой функции (т. е. для функции, у которой существует конечная производная) можно сформулировать необходимое условие строгой монотонности: Если дифференцируемая функция строго возрастает (строго убывает) на некотором промежутке X, то ее производная неотрицательна (неположительна) на этом промежутке: f'(x) ^ 0 (f'(x) ^ 0), х Е X. Таким образом, в отдельных точках производная строго монотонной дифференцируемой функции может равняться нулю. Заметим, что необходимое условие «нестрогой» монотонности формулируется так же как и необходимое условие строгой монотонности.
9.2. Экстремум функции
Говорят, что функция f(x) имеет в точке хо строгий локальный максимум (минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (жо ~ ^ xq + 6), содержащейся на промежутке,
9.2. Экстремум функции
143
где задана функция, что для всех ее точек ж выполняется строгое неравенство
f(x) < f(x0) (или /(ж) > /Ы)-
Иными словами, точка xq доставляет функции f(x) строгий локальный максимум (минимум), если значение f(xo) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что само определение строгого локального максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от
точки Xq.
Если существует такая окрестность, в пределах которой (при х = xq) выполняется нестрогое неравенство
f(x) ^ /(ж0) (или /(ж) ^ /(ж0)),
то говорят, что функция имеет в точке жо нестрогий локальный максимум (минимум).
По-латыни слова maximum и minimum означают «наибольшее» и «наименьшее» (значение).
Если функция имеет строгие локальные максимумы в точках жо и жх, то наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке х2 между жо и х\ и имеет там строгий локальный минимум. Аналогично между двумя строгими локальными минимумами непременно найдется строгий локальный максимум. В том простейшем (и на практике — важнейшем) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число строгих локальных максимумов и минимумов, они попросту чередуются. На графике функции (как, например, на графике функции sin ж, 0 ^ ж ^ 6 7г) им соответствуют характерные горбы и впадины.
Наличие локального экстремума функции при некотором значении аргумента нисколько не зависит от того, как ведет себя функция вдали от этого значения. С этой точки зрения понятно, что строгий локальный минимум функции может быть больше строгого локального максимума, — подобно тому как впадина в горах может быть выше, чем небольшая вершина. В отличие от строгого локального максимума (минимума) существует еще понятие строгого глобального максимума (минимума) на некотором множестве. Естесственно, что строгий глобальный максимум больше всех остальных значений значений функции на данном множестве (в том числе и дальних), а строгий глобальный минимум — меньше. В географических горных терминах строгий
144
Гл. 9. Исследование функций
глобальный максимум — это наивысшая точка, а глобальный — самая низкая.
Заметим, что когда нет надобности акцентировать внимание на том, является ли максимум (минимум) строгим или нестрогим, локальным или глобальным, соответствующие прилагательные опускают. Для максимума или минимума существует и объединяющий их термин — экстремум. Латинское extremum означает «крайнее» (значение). Экстремумы также разделяются на строгие и нестрогие, локальные и глобальные.
