Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
V Пример 3. Используя второе правило, исследовать критическую точку х = 0 для функций из примера 1 на экстремум.
Решение. Для первой функции из этого примера имеем: у = = ж2, у' = 2 ж, у" = 2 > 0. Следовательно, в точке х = 0 — строгий локальный минимум.
Для второй и третьей функций критическая точка х = 0 не является стационарной, поскольку производные в нуле не равны нулю. Таким образом, второе правило не применимо для второй и третьей функций из примера 1.
Для четвертой функции точка х = 0 является стационарной, однако вторая производная в ней обращается в нуль, что не позволят применить второе правило для исследования этой функции на экстремум. А
Таким образом, второе правило имеет, вообще говоря, более узкий круг применения, чем первое; оно, например, явно непри-ложимо к тем точкам, где не существует конечной производной (ибо там и речи быть не может о второй). В тех случаях, когда вторая производная обращается в нуль, правило также ничего не дает.
9.4- Разыскание оптимальных значений функций
151
9.4. Разыскание оптимальных значений функций
До сих пор мы интересовались лишь локальными максимумами и минимумами функции, теперь же поставим вопрос о разыскании глобального экстремума, т. е. наибольшего или наименьшего из всех значений, которые она принимает промежутке X.
В прикладных задачах чаще всего встречается простой случай, когда в промежутке X оказывается лишь одна критическая точка xq. Если в этой точке функция имеет локальный максимум (минимум), то ясно, что это и будет наибольшее (наименьшее) значение функции в промежутке. Причем, сказанное приложимо в полной мере к любому промежутку X (к замкнутому, открытому, или же бесконечному). На этих рассуждениях основано правило.
Первое правило разыскания наибольшего или наименьшего значения: Пусть в промежутке X оказывается лишь одна критическая точка х$. Если в этой точке функция имеет локальный максимум (минимум), то это и будет наибольшее (наименьшее) значение функции в промежутке.
Особенно часто этот случай встречается в прикладных задачах на экономию.
Вот простейший пример такого рода.
V Пример 1. Требуется огородить забором участок прямоугольной формы площадью 100 кв. м.
В зависимости от размеров участка расходы материала при строительстве такого забора будут различны. Действительно, сравним общие длины (периметры) ограждений двух участков схематически изображенных на рис. 9.7.
¦ -¦ 1 м
100 м
5 м
20 м
Рис. 9.7. Две ограды с площадью 100 кв. м
Длина первого прямоугольного участка равна 100 м, а ширина равна 1 м. Поэтому периметр первой ограды равен
2-100 + 21 = 202 (м).
152
Гл. 9. Исследование функций
Периметр второго участка равен
2-20 + 2-5 = 50 (м).
Как видим, периметр первой ограды более чем в 4 раза больше периметра второй ограды, хотя площади соответствующих участков одинаковы (100 кв. м). Отсюда следует, что материала на сооружение первого забора требуется гораздо больше, чем на сооружение второго, и 10 м поэтому проект второй ограды намного эко-
номичнее первой.
Ю м Возникает вопрос: не существует ли еще
~ ^ о тт ^ более экономичного проекта? Методом проб
Рис. 9.8. Наиболее ' 1
можно найти такую ограду — забор, ого-
экономичная ограда с площадью раживающий квадратный участок со сторо-100 кв. м нами 10 м (рис. 9.8). Однако как доказать,
что более экономичного проекта среди прямоугольников не существует? Доказать это можно только хорошо зная правила отыскания экстремума.
Поставим и решим поставленную задачу в общем виде.
Задача. Найти наименьшую величину периметра Р с данной площадью S.
Решение. Обозначим стороны прямоугольника через ж, у. По условию
xy = S (9.2)
(хиу — положительные величины). Требуется найти наименьшее значение величины
Р = 2(х + у). (9.3)
Примем за аргумент х. Выразим переменную у через х из (9.2) и подставим в (9.3). Получим
Р = Р(х) = 2 + (х > 0).
Находим производную
Р'(х) = 2 (l - ) . (9.4)
Производная при всех х Е (0, +оо) существует и принимает конечные значения. Поэтому критические точки могут быть только
9.4- Разыскание оптимальных значений функций
153
среди стационарных. Приравняв выражение 2 ^1 —нулю,
находим х = Vs.
Используя первое правило отыскания экстремума, покажем, что точка х = л/S является точкой минимума. Из (9.4) видно, что при 0 < х < л/S производная Р'(х) отрицательна, а при х > > л/S — положительна. Значит, имеем минимум. Будучи единственным, он является наименьшим значением периметра:
Рнаим(Ж) = 2 (VS +-^L) =4VS,
т. е. из всех прямоугольников с данной площадью S наименьший периметр имеет квадрат [х = л/S , у = л/S ^ . А
Таким образом, доказано, что из всех прямоугольников с данной площадью S наименьшим периметром обладает квадрат. Однако, не следует думать, что из всех прямоугольников квадрат всегда будет оптимальной фигурой. Все зависит от постановки задачи. Ниже рассмотрен пример, показывающий, что оптимальной фигурой может оказаться вовсе не квадрат.
V Пример 2. Требуется оградить забором прямоугольный участок земли площадью 294 кв. м и затем разделить его на две равные части перегородкой. Каковы должны быть размеры участка, чтобы на постройку забора и перегородки было истрачено наименьшее количество материала?
