Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 42

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 123 >> Следующая

? Пусть жо — критическая точка и при переходе аргумента через точку жо знак производной изменяется с плюса на минус. Из достаточных условий монотонности функции следует, что на интервале (жо — Аж, жо), Аж > 0, функция строго возрастает, а на (жо, xq + Аж), Аж > 0, строго убывает. Следовательно, в точке ж = жо значения функции / (ж) больше, чем ее значения во всех точках интервала (жо — Аж, жо + Аж), а это означает, что в точке жо функция имеет максимум.
Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Докажем третью часть теоремы.
Пусть производная при переходе через точку жо сохраняет знак плюс, т. е.
/'(ж) > 0, при жо — е < х < жо + ?, ж ф жо-
148
Гл. 9. Исследование функций
Отсюда и из теоремы о достаточном условии строгой монотонности функции следует, что функция строго возрастает как на отрезке [ж о — ?, жо], так и на отрезке [жо, жо + е]. Следовательно, функция не имеет ни максимума, ни минимума при ж = жо-
Третья часть теоремы в случае, когда производная при переходе через точку жо сохраняет знак минус, доказывается точно так же. ¦
Таким образом, первое правило для испытания «подозрительного» значения жо таково: подставляется в выражение для производной /'(ж) сначала ж < жо, а затем ж > жо; устанавливается знак вблизи от точки жо слева и справа от нее; если при этом производная /'(ж) меняет знак плюс на минус, то в точке жо — максимум; если производная /'(ж) меняет знак минуса на плюс, то — минимум; если же производная знака не меняет, то экстремума вовсе нет.
V Пример 1. Даны функции:
1)3/= х2;
2)У =
3)У = N;
4)у = ж3.
Для всех четырех функций точка ж = 0 является критической: в первом и четвертом случаях производная в точке ж = 0 обращается в нуль, во втором — равна бесконечности, в третьем — не существует. Используя первое правило, исследовать критическую точку ж = 0 на экстремум.
Решение. Все четыре функции непрерывны на числовой оси. Производные функций у = ж2, у = ж2/3 и у = |ж| меняют знак при переходе через точку ж = 0 с минуса на плюс. Это означает, что критическая точка ж = 0 является для этих функций точкой строгого локального минимума. Функция у = ж3 при переходе через точку ж = 0 сохраняет положительное значение производной. Следовательно, для функции у = ж3 точка ж = 0 не является точкой экстремума. А
V Пример 2. Исследовать на экстремум функцию /(ж) = = ж3-3ж.
Решение. Находим производную функции
/'(ж) = 3 ж2 - 3 = 3 (ж + 1) (ж - 1).
Приравняв производную нулю, находим стационарные точки жх = — 1, Ж2 = 1. В данном случае производная определена
9.3. Достаточные условия существования экстремума 149
всюду. Значит, кроме двух найденных точек, других критических точек нет. При переходе через точку ж = — 1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х = 1 — с минуса на плюс. Следовательно, в точке х = — 1 функция имеет строгий локальный максимум, а в точке х = 1 — строгий локальный минимум. А
При разыскании экстремумов исследование знака производной вблизи испытуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной в самой точке. На этом основано второе правило.
Теорема 2 (второе правило). Если функция у = f(x) дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки Xq и
f'(x0) = О, /"Ы ф О,
то в этой точке f(x) имеет строгий локальный экстремум] а именно: если f"(xo) > О, то /(жо) ~~ строгий локальный минимум функции /(ж), и если f"(xo) < 0, то /(жо) — строгий локальный максимум функции /(ж).
? Пусть f'(xo) = 0. Допустим, что //7(жо) > 0. Это означает, что в окрестности критической точки жо производная /'(ж) строго возрастает. Но /'(жо) = 0, поэтому /'(ж) < 0 при ж < жо, а при ж > жо имеем /'(ж) > 0. Производная /'(ж) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, если в критической точке //7(жо) > > 0, то функция имеет строгий минимум.
Если //7(жо) < 0, то это означает, что в окрестности критической точки жо производная /'(ж) строго убывает. Но /'(жо) = 0, поэтому /'(ж) > 0 при ж < жо, f'(x) < 0 при ж > жо- Производная /'(ж) меняет знак с плюса на минус. Значит, если в критической точке //7(жо) < 0, то функция имеет строгий максимум. ¦
Таким образом, второе правило для испытания «подозрительного» значения жо состоит в следующем: подставляем жо во вторую производную //7(ж); если //7(жо) > 0, то функция имеет минимум, если же //7(жо) < 0, то — максимум.
На рис. 9.6 х) изображены «личики», которые помогут запомнить второе правило.
Два знака (глаза) личика напоминают, что второе исходит из знака второй, а не первой производной. Конфигурация рта,
г) Рисунок заимствован из книги [38].
150
Гл. 9. Исследование функций
ГЫ > о /"(Жо) < о
Рис. 9.6. Экстремум функции в стационарной точке хо
характеризующая улыбку или грусть, означает минимум или максимум функции в стационарной точке.
Первое личико — это «рисунок» первого утверждения правила. Если глаза личика блестят (+ +), то оно улыбается. Значит, если знак второй производной плюс, то стационарная точка является точкой строгого локального минимума.
Вторая рожица — это «рисунок» второго утверждения теоремы. Если глаза личика не блестят (— —), то оно грустит. Значит, если знак второй производной минус, то стационарная точка является точкой строго локального максимума.
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed