Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
/ч \т т (т — 1) о т
(1 + х)т = 1 + + ^-}-х2 + +
(1 + х)7 = 1 + 7 х + 21 х2 + 35 х3 + 35 ж4 + 21 ж5 + 7 ж6 + ж7. А
Формулу Тейлора можно распространить на функции, не являющиеся многочленами. Можно доказать следующую теорему.
Теорема. Если функция f(x) имеет в интервале (а, Ь) производные до п-го порядка включительно, то
f(x) = /(а) + 1М(х-а) + ^(х-а)х2 + ...+
+ 7^Ж(ж_а) +^г1(ж_аГ' (8-9)
где а < с < Ь.
Это формула Тейлора для произвольной функции. Она отличается от формулы Тейлора для многочленов (8.7) только последним слагаемым. При разложении многочлена в последнем слагаемом имеет место f(n^(a), а при разложении произвольной
функции имеет место f^n\c).
Это последнее слагаемое в разложении произвольной функции называют остатком ряда.
Если в формуле (8.9) принять а = О, то получаем следующую часто используемую формулу:
/'(0)„ , , /(п~1}(0) „w-i , fM(c) (п-1)!
/(*) = /(о) + ^уг х + - + V^IT х + х'
где 0<с<Ь.хЕХ.
Формула Тейлора имеет важное значение для многих задач математического анализа. Так, сложные функции посредством этой формулы можно с большой точностью заменить многочленом, т. е. более простой функцией. Кроме того, эта формула позволяют рассчитать приблизительные значения функций.
138
Гл. 8. Основные теоремы о производных
V Пример 2. С помощью формулы Тейлора разложить функцию ех в степенной ряд.
Решение. Поскольку f(x) = ex, f'(x) = ex, f^\x) = ex, /<">(Ж) = ех,
/(0) = 1, /'(0) = 1, /<»-1)(0) = 1, /("'(с) = ес,
то разложение функции f(x) = ех в ряд Тейлора имеет следующий вид:
ех = 1 + I ж + I ж2 + ... + 1 ж*""1) + i- ж". 1! 2! (п - 1)! п!
Примем без доказательства, что
-хп ^0 п!
при п —> оо. Тогда
еЖ = 1 + Т!Ж + 21ж2 + -+(^Т)!ж(П"1)
Аналогично можно получить разложения в степенные ряды многих других функций.
Задача. Разложить в степенной ряд функции:
sinx, cosx, 1п(1 + ж), (1 + х)т.
Ответ:
х3 хъ (-lr^x271-1
smx = х ___ + __ + ... + (2п_1}, + ... (-00 < х < оо),
, х2 х4 (-1)пх2п
cos* = 1 - - + - - ... + (2п), + ... (-оо < х < оо),
^2 3 (л\п п+1
1п(1 + х) = х - Х- + Х- - ... + ( '>+\ + ... (-К х < 1),
(1 + ЖГ = 1 + тЖ + ... + т(то-1)(7-П + 1) +
п!
(-К ж < 1).
Последний ряд называется биномиальным. Если m — целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона. Действительно, т — п + 1 = 0 при п = т + 1.
8.9. Формула Тейлора
139
Поэтому п-й член ряда и все последующие равны нулю, т. е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.
Замечание. Основываясь на своем ограниченном опыте, математики XVIII века не сомневались в том, что всякая непрерывная функция разлагается в бесконечный ряд Тейлора. Лишь позже в XIX веке Коши дал первый пример функции, которая хотя и является непрерывной и обладает в точке х = а всеми производными, но не разлагается в ряд по степеням (х — а). Эта функция задается формулой f(x) = е_1/ж при добавочном условии /(0) = = 0 (при х = 0 формула теряет смысл). Функция f(x) имеет в точке х = 0 производные любого порядка. Все они равны нулю в этой точке, так что ряд Тейлора тождественно равен нулю. Однако f(x) нигде, кроме точки х = 0, не обращается в нуль.
Коши показал также, что функция разлагается в ряд Тейлора только в том случае, если остаток ряда стремится к нулю при п —> оо, в противном случае не разлагается.
Следует помнить, что в каком-то смысле высшая математика проще элементарной. Исследовать, например, лесную чащу пешком очень трудно, с самолета это делается проще.
У. Сойер (английский математик и педагог)
Глава 9 Исследование функций
9.1. Признаки монотонности функции
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие постоянства функции). Дифференцируемая на промежутке X функция у = f(x) постоянна тогда и только тогда, когда f'(x) = О для всех х Е X.
? Необходимое условие постоянства функции (если функция постоянна на некотором промежутке, то ее производная равна нулю) следует из формулы с' = 0. Достаточное условие постоянства функции (если производная равна нулю в каждой точке некоторого промежутка, то функция есть тождественная постоянная на этом промежутке) есть следствие 1 из теоремы Лагранжа, которое уже было ранее доказано (см. с. 129). ¦
Теорема 2 (достаточное условие строгой монотонности функции). Если в промежутке X производная функции положительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная отрицательна, то функция строго убывает в соответствующем промежутке.
? Пусть х\ и Х2 принадлежат промежутку, в котором f'(x) > > 0; будем считать, что х\ < Х2- По теореме Лагранжа
f(x2)-f(x1) = f'(c)(x2-x1), (9.1)
где х\ < с < Х2-
Поскольку f'(c) > 0, то разности /(#2) — f(xi) и (х2 — х\) одного знака, причем Х2 — х\ > 0, поэтому /(#2) — f(xi) > 0-
9.1. Признаки монотонности функции
141
У
У
О
у' = tga > О
О
х
у' = tga < О
Рис. 9.1. Достаточное условие строгой монотонности функции
Следовательно, из неравенства х\ < х2 следует неравенство f{x\) < f(x2), т. е. функция строго возрастает в промежутке, где f'(x) > 0.
