Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Те значения аргумента, при которых достигаются экстремумы функции, называются точками экстремума функции.
Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.
Предположим сначала, что для функции f(x) в промежутке X существует конечная производная. Если в точке ж о функция имеет экстремум, то /7(жо) = 0:
Теорема (необходимое условие экстремума). В точке экстремума дифференцируемой функции производная ее равна нулю.
? Пусть хо — точка экстремума дифференцируемой функции у = /(ж). Для определенности предположим, что жо — точка нестрого локального максимума, тогда /(жо) ^ f(xo + Ах) при достаточно малых Ах. Отсюда
f(xo + Ax)—f(xo) ^ „ л
- ^ U при достаточно малых Ах > U,
Ах
f(x0 + Ax)-f(x0)
^ 0 при достаточно малых Ах < 0.
Ах
Переходя к пределу, получаем
f'(x0) = Пт /(*о + А*)-/(хо) ^ 0 Ах > 0
J v J Дж-ю Ах
w/ ч r f(xo + Ах) - f(x0) . Л л ^п
/ (жо) = 1™ —-ir1--—- ^ 0 ПРИ Ах < 0.
J v J Дж-Ю Ах v
Поскольку /7(жо) является числом, не зависящим от способа стремления Аж к нулю, два последних соотношения совместимы лишь в том случае, когда
/'Ы = о.
9.2. Экстремум функции
145
Аналогично доказывается теорема для случая, когда xq — точка нестрого локального минимума функции. Теорема верна и в случае строгого экстремума. При доказательстве используется тот факт, что строгое неравенство в пределе переходит в нестрогое. ¦
Таким образом, экстремум дифференцируемой функции следует искать только в тех точках, где производная равна нулю; такие точки будем называть стационарными.
По латыни слово stationnare означает «стоящий», «неподвижный». Это название вполне оправдано. Представим себе график дифференцируемой функции в виде твердой поверхности и шарик, помещенный на какую-либо его точку.
Если шарик поместить точно на стационарную точку и не двигать его, то он останется на месте (будет «стоящим», «неподвижным»), поскольку касательная к графику в стационарной точке горизонтальна: f'(x) = tga = 0.
Если же шарик находится на точке графика функции, в которой производная положительна (отрицательна), то шарик покатится, поскольку касательная к графику функции имеет в этой точке наклон
f'(x)=tga>0 (/'(:r) = tga<0).
На рис. 9.3 изображены стационарные точки, а на рис. 9.4 — нестационарные.
Не следует думать, что каждая стационарная точка доставляет экстремум: указанное необходимое условие не является достаточным.
Например, для функции f(x) = х3 производная Зж2 обращается в нуль при х = 0, но в этой точке, как мы уже видели из рис. 9.2, функция х3 не имеет экстремума: она все время возрастает.
Если расширить класс рассматриваемых функций и допустить, что в отдельных точках производная равна бесконечности или вовсе не существует, то не исключена возможность того, что экстремум придется на какую-либо из таких точек. На рис. 9.5 изображены подобные возможности. Например, функция д(х) = = ж2/3, очевидно, имеет строгий минимум при х = 0 (рис. 9.5),
в то время как производная ее - ж-1/3 равна бесконечности в
о
этой точке, точно так же в точке х = 0 имеет строгий минимум
146
Гл. 9. Исследование функций
Рис. 9.3. Стационарные точки
Рис. 9.4. Нестационарные точки
</(0) = оо ^(О) не существует
Рис. 9.5. Минимум функции в точке х = О
функция <р(х) = хотя производной для нее в этой точке вовсе нет.
Следовательно, и точки, в которых производная бесконечна или не существует, также могут доставлять функции экстремум. Стационарные точки, а также точки, в которой функция имеет бесконечную производную или в которой производная не существует, называются критическими. Из сказанного следует, что точки экстремума для расширенного класса функций следует искать среди критических точек.
9.3. Достаточные условия существования экстремума 147
Геометрически это означает, что точки экстремума следует искать в тех точках, где касательная горизонтальна (у' = 0), вертикальна (у1 = оо) или не существует (нет производной).
9.3. Достаточные условия
существования экстремума
Итак, если точка жо есть критическая точка для функции /(ж), то точка хо представляется, так сказать, лишь «подозрительной» по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию. Это испытание состоит в проверке достоверных условий для существования экстремума. В этом параграфе рассматриваются три правила для испытания «подозрительного» значения xq.
Теорема 1 (первое правило). Пусть функция у = f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку жо, и дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, может быть, самой точки жо-
Если при переходе аргумента слева направо через точку жо производная f'(x) меняет знак с плюса на минус, то функция f(x) в этой точке имеет строгий локальный максимум.
Если при переходе через точку жо производная f'(x) меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке строгий локальный минимум.
Если при переходе через точку жо производная f'(x) сохраняет постоянный знак, то функция не имеет строгого локального экстремума.
