Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
ч cost cos (arccos (xIR))
у (ж) =--;- =--j-^- =
sint sin (arccos (x/R))
x/R
y/l - (x/R)2 y/R2 - x2 '
Полученный ответ в точности совпадает со значением производной, найденным непосредственно из уравнения полуокружности х2 + у2 = R2 у > 0:
У = VR2 - х2, у' = 2 Х Х
2 y/R2 ~ х2 y/R-
2 — х2
V Пример 2. Найти производную функции, заданную параметрически: х = a cost, у = b sint, где t G [0, тг] (параметрические уравнения полуэллипса).
Решение.
// \ v'(t) (b sint)' b cost b , ,
y'(x) = = 7-J-j =--:— =--Ctg t.
x (t) (a cos t) a sin t a
8.6. Производная неявной функции
127
Выразив t через ж, получим
I, ч b cost b cos (arccos (x/a))
у (x) =--;— =----——-f =
a sint a sin (arccos (x/a))
b x
a2 y/l - (x/a)2 a ja2 _ x2 '
Полученный ответ в точности совпадает со значением производной, найденным непосредственно из уравнения полуэллип-
х2 у2 са — + -j = 1, где у > 0: а о
b /—z-~ / b —2х b х
у = - у/а2 - х2 , у =
а 2 у/а2 - х2 а лД
2 — х2
В рассмотренных примерах показана связь производных функций, заданных явно и параметрически. В практических же задачах нет необходимости от представления y'(t) переходить к представлению у'(х). Параметрическое представление производной вполне достаточно. Оно позволяет строить график производной и изучить ее свойства. Заметим также, что обычное задание функции у = у(х) можно рассматривать как частный случай параметрического х = t, у = y(t).
8.6. Производная неявной функции
Выше было рассмотрено дифференцирование явных функций и параметрических функций. Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной уравнением F(x,y) = 0. Для нахождения производной функции у, заданной неявно, нет нужды искать явное выражение функции у = f(x); нужно просто продифференцировать обе части уравнения, рассматривая у как функцию от ж, а затем из полученного уравнения найти производную у'.
V Пример. Найти производную функции, заданную уравне-
2 2
x у
нием эллипса —~ Л—7 = 1.
а Ь
Решение. Дифференцируя обе части уравнения, находим: а о
128
Гл. 8. Основные теоремы о производных
отсюда у
=--2—• Это представление для у' совпадает с фор-
а у
мулой
У
<> = ±ь-.
а
х
найденной с помощью явного выражения функции. А
8.7. Производная высших порядков
До сих пор мы рассматривали производную ff(x) от функции /(ж), так называемую производную первого порядка. Но производная f'(x) сама является функцией, которая также может иметь производную. Производной n-го порядка называется производная от производной (п — 1)-го порядка. Обозначение производных: f"{x) — второго порядка или вторая производная, ffff(x) — третьего порядка или третья производная. Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например, f(n\x),
или fIV(x) и т. д.
Выясним механический смысл второй производной. Выше было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону s = s(t) (где s — путь, t — время), то s'(to) представляет скорость изменения пути в момент ?q- Следовательно, вторая производная пути во времени s"(to) = [s'(to)]' = v'(to) есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент to-
8.8. Теорема о конечном приращении и ее следствия
Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема в интервале (а, 6), то существует такая точка с G (а, Ь), что
f(b)-f(a) = f'(c)(b-a).
? Через точки Л(а, /(а)) и 5(6, f(b)) данной функции проведем секущую ЛВ (рис. 8.1). Угол, образуемый секущей ЛВ с осью Ох, обозначим через а. Тангенс угла в прямоугольном
8.8. Теорема о конечном приращении и ее следствия
129
а с Ь а с Ь
к теореме Лагранжа к теореме Ролля
Рис. 8.1. Иллюстрации к теоремам Лагранжа и Ролля
треугольнике равен отношению катетов: противолежащего к прилежащему. Из треугольника ABN находим
tga =
\BN\ f(b)-f(a)
\AN\
Будем перемещать секущую Л В параллельно начальному положению до тех пор, пока она не превратиться в касательную к графику функции у = f(x) в некоторой точке С(с, /(с)), где а < с < b (здесь опускается доказательство того факта, что такое предельное положение существует). Согласно построению и геометрическому смыслу производной tg а равен тангенсу угла наклона касательной /'(с), поэтому
№ - /(о) _ fl(A Ь-а -J{C>'
а < с <
Отсюда /(6) - / (а) = /'(с) (Ь-а).Ш
Следствие 1. Если производная равна нулю в каждой точке некоторого промежутка, то функция есть тождественная постоянная на этом промежутке.
? Пусть f'(x) = 0 для всех х из данного промежутка. Если а их — две точки этого промежутка, то по доказанной теореме f(x) — f(a) = /'(с) (х — а), а < с < х. Поскольку f'(c) =
О, то
/(я)-/(а)=0, /(ж) =/(а) = const.
5 Я. М. Ахтямов
130
Гл. 8. Основные теоремы о производных
Следствие 2. Если две функции имеют равные производные в некотором промежутке X, то они отличаются в этом промежутке лишь постоянным слагаемым.
? Если fi(x) = /2(ж), х G X, то
