Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
S"(x) = -4 < 0.
Вторая производная отрицательна (лицо грустит). Так что при х = 1/4 функция S(x) имеет локальный максимум, который и является наибольшим значением функции S(х) в интервале (0, 1/2).
Рассмотренный пример является одним из вариантов так называемой задачи Дидоны. По преданию, мифическая основательница города Карфагена в Северной Африке финикийская царица Дидона в ответ на обращенную к вождю прибрежного племени просьбу о выделении ей территории для постройки города получила издевательское согласие уступить участок земли «в пределах бычьей шкуры». Однако хитрая Дидона не просто покрыла шкурой крошечную часть побережья, как рассчитывали аборигены, а разрезав шкуру на тонкие ремни, отгородила этими ремнями довольно большой участок, который удалось сделать еще большим, воспользовавшись берегом моря. А
Итак, если функция внутри отрезка [а, Ь] имеет один максимум (минимум), то это и есть наибольшее (наименьшее) ее значение при х Е [а, Ь]. В следующем разделе, посвященном приложениям в социально-экономической сфере приводятся другие примеры и задачи на первое правило отыскания экстремума.
Если же функция не имеет экстремума внутри отрезка, как, например, линейная функция, то наибольшее (наименьшее) ее значение будет в граничных точках.
9.4- Разыскание оптимальных значений функций
157
x
Рис. 9.11. Парадокс Декарта
Ферма, нашедший необходимый признак экстремума, сообщил его в 1838 году без доказательства Декарту. Последний испробовал правило Ферма на нижеследующем примере и пришел к ошибочному выводу, что признак неверен.
V Пример 4 (парадокс Декарта). Найти на окружности
точку, ближайшую к точке Л (—а, 0), а > 0 (рис. (9.11).
Решение. Если М(ж, у) — произвольная точка окружности, то
\АМ\2 = (х + а)2 + (у-0)2,
или в силу (9.5)
|ЛМ\2 = (х + а)2 + г2 - х2 = 2 а х + а2 + г2.
Для разыскания минимума величины |ЛМ|2 Декарт составил уравнение, которое теперь мы пишем так:
Декарт нашел отсюда 2 а = 0 и посчитал, что это приводит к противоречию, ибо по условию а ф 0, и заключил, что необходимый признак минимума неверен. Между тем геометрически ясно, что искомая точка существует и совпадает с точкой Р(—г, 0). Эта точка не обнаруживается с помощью производной, поскольку наименьшее значение |ЛМ|2 не является минимумом. Действительно, х принимает значения на отрезке [а, 6], a функция |ЛМ|2 = 2 а х + а2 + г2 является линейной, поэтому принимает наименьшее значение на конце промежутка х = —г.
х2 + у
2 2 1 — [
(9.5)
(2ах + а2 + г2)' = 0.
158
Гл. 9. Исследование функций
Кажущееся противоречие связано с неверным отождествлением понятия наименьшего значения и локального минимума. А
Таким образом, в случаях, когда для функции, заданной на отрезке, экстремум отсутствует, или же функция имеет не менее двух экстремумов, требуется другое правило отыскания наибольшего или наименьшего значения, отличное от первого.
Второе правило разыскания наибольшего или наименьшего значения: Пусть непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [а, Ь].
1. Найдем все критические точки функции на отрезке [а, Ь] и вычислим значение функции в этих точках, не выясняя характера экстремума.
2. Вычислим значения функции на концах отрезка.
3. Запишем полученные значения функции в порядке возрастания.
Тогда первое число является наименьшим значением f(x), а последнее — наибольшим значением функции на отрезке.
Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 — Зх на отрезке [0, 2].
Решение. Найдем производную; у' = Зх2 — 3. Она всегда имеет смысл и обращается в нуль в двух точках: х\ = — 1 и х2 = 1. Из них только одна х2 = 1 лежит в рассматриваемом промежутке; следовательно, только она должна приниматься во внимание. Для отыскания наибольших и наименьших значений функции необходимо вычислить значения функции в критических точках, а также на концах отрезка:
у(0) = О3 - 3 • 0 = 0, у(1) = I3 - 3 • 1 = -2, у(2) = 23 - 3 • 2 = 2.
Наибольшим среди найденных значений является число 2, а наименьшим — число (—2).
Итак, з/наиб = 2/(2) = 2, з/Наим = 2/(1) = -2; наибольшее значение достигается на конце промежутка, а наименьшее — внутри. А
Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции у = х3 — 3 х2 — 45 х + 225 на отрезке [0, 6].
Ответ: з/Наиб = 2/(0) = 225, 2/наим = 2/(5) = 50.
V Пример 5 (о наименьшей стоимости перевозок).
Завод Л нужно соединить шоссейной дорогой с прямолинейной железной дорогой, на которой расположен город В. Расстояние |^4.01 от завода до железной дороги равно а, расстояние \ОВ\
9.4- Разыскание оптимальных значений функций
159
) м в о в
а б
Рис. 9.12. Задача о наименьшей стоимости перевозок
по железной дороге равно /. Стоимость перевозок по шоссе в к раз дороже стоимости перевозок по железной дороге (к > 1).
Как провести шоссе AM к железной дороге, чтобы стоимость перевозок от завода к городу была наименьшей?
Решение. Сделаем чертеж (рис. 9.12, а). Ясно, что шоссе тоже должно быть прямолинейным (прямая короче любой кривой, соединяющей данные две точки). Кроме того, пункт М не может лежать левее точки А и правее точки В. Если расстояние |М5| обозначить через ж, то 0 ^ х ^ /.
