Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Пусть точка х ф а принадлежит интервалу, в котором функции дифференцируемы. По теореме Коши
f(x)-f(a) _ f'(c) <р(х)-<р(а) <р'(с)'
8.8. Теорема о конечном приращении и ее следствия
133
где с лежит между х и а.
По условию f(a) = у? (а), поэтому
№ = /'(<0а
<р(х) <р'(с)'
Если х —> а, то с —> а, так как с заключено между х и а. Переходя к пределу в последнем равенстве, получаем
lim ^4 = lim ^4 = lim :lt~j-. Ш
x^ta (f(x) c^a cp (c) x-?a cp (x) sin 2ж
V Пример 1. Найти lim -:—.
ж->-0 Зх — sin x
Решение. При х = О числитель и знаменатель обращаются в нуль, имеем неопределенность вида ^jj^. Применяя правило Лопиталя-Бернулли, получим:
sin2x /0\ le (sin2x)/ lim---— = ( - 1 = lim —
x-
-+0 Зх — sin ж \0/ ж-И) (Зж — sin х)'
2 cos2x 2 = lim - = -= 1. а
ж-^о 3 — cos х 3 — 1
In x
V Пример 2. Найти lim ——, где п — натуральное число.
ж->-+оо х
Решение. Имеем неопределенность вида — ). Применяя
\оо '
правило Лопиталя-Бернулли, получим:
In ж /ос\ Л. (In ж)' hm = I — ) = lim =
ж 1 = lim -—т = lim-- = 0.
х^+оспх Х^+ОСПХ
Этот пример показывает, что при возрастании х логарифмическая функция растет медленнее степенной функции. а
Правило Лопиталя-Бернулли при выполнении соответствующих условий можно применять несколько раз.
хп
V Пример 3. Найти lim —-, где п — натуральное число.
ж—ц-оо е
134
Гл. 8. Основные теоремы о производных
Решение. Применяя правило Лопиталя-Бернулли п раз, получим:
хп /ос\ пхп~х /оо\ lim —- = ( — ) = Inn--— = ( — ) =
ж->-+оо е V оо / ж->-+оо е V оо /
= о™ п(п-;)ж""2 = и = ...=
ж->-+оо е V оо /
п (п — 1)...1 = lim —^--1-= 0. А
Как мы уже отмечали ранее, неопределенности 0 • оо, оо — оо,
1°°, 0°, оо° можно свести к неопределенностям -, —.
0 оо
2
V Пример 4. Найти lim xх-1.
ж->4
Решение. Это неопределенность вида 1°°.
о о 1- 2 In х
2 | 2 hm ——г-
lim жж-! = lim e «-1 = ех^г x
ж->4 ж->4
Поскольку
2
lim ^ = I - ) = lim ^ ^n ж) — цт _ж_ — 2 z-n - 1 \0/ ж->1 (ж - 1) ж->1 1
ж то
_А_ 2
lim жж-! = в . А
ж->4
8.9. Формула Тейлора
Мы уже знакомились (правда, не в такой форме) с соотношением
ОО j
1 + х + х2 + ... = V/ =--.
п 1 ~ Х
Оно означает, что геометрический ряд сходится, если |ж| < 1, и его сумма равна —• Говорят также, что функция f(x) = —
оо
в интервале ( — 1, 1) разлагается в ряд ^ хп.
п=0
8.9. Формула Тейлора
135
Ряд более общего вида
оо
С0 + С\ х + с2 х2 + ... = ^2 сп хп
п=0
называется степенным рядом (с центром в нуле). А ряд вида
оо
с0 + с\ [х - а) + с2 (х - а)2 + ... = ^ сп (х - а)п
п=0
называется степенным рядом (с центром в точке а). Название объясняется тем, что члены ряда являются степенями х.
Областью сходимости степенного ряда называется множество, состоящее из всех тех ж, для которых сходится соответствующий числовой ряд.
Во многих случаях бывает сложно определить значения функций, соответствующие значениям независимой переменной. Эта задача облегчается при записи функций в виде так называемых степенных рядов Тейлора.
Например, возьмем многочлен
f(x) = с0 + с\ х + с2 х2 + с3 ж3, (8.3) где со, ci, С2, сз — постоянные. Вычислим производные
f'(x) = c1 + 2c2x + 3c3x2, (8.4)
/"(я) = 2с2 + 6с3я, (8.5)
/'"(*) = 6с3. (8.6) Если в выражения (8.3)-(8.6) подставить х = 0, получим
/(0) = со, /'(0) = ci = l!-ci, /"(0) = 2с2 = 1-2-С2 = 2!-С2, /'"(0) = 6сз = 1-2-3-сз = 3!-с3,
до, С1 = т, » = q>, C3 = q>.
откуда
со =
136
Гл. 8. Основные теоремы о производных
Подставляя эти значения в выражение (8.3), получаем
}{x) = m+mx+qix^mxK
Аналогично можно получить разложение многочлена
f(x) = С0 + С1(х-а) + С2 (х - а)2 + С3(х- а)3 :
f(x) = f(a) + ^(x-a) + ^(x-a)* + q?±(x-a)\
Действуя таким же образом, можно любой многочлен n-й степени записать в виде
fix) = f(a) + (х - а) + (х - а)2 + ...
... + ^Р-(х-а)п. (8.7)
Выражение (8.7) называется рядом Тейлора.
ТЕЙЛОР (Taylor) Брук (1685-1731) — английский математик, член Лондонского королевского общества. Получил общую формулу разложения функций в степенной ряд, положил начало математическому изучению задачи о колебаниях струны. Он автор работ о полете снарядов, взаимодействии магнитов, центре качания, перспективе и др. К концу жизни занимался вопросами философии.
Подставляя в выражение (8.7) а = О, получаем частный случай ряда Тейлора для многочленов:
f(x) = m + tmx+mx<+...+tMx«. (м)
V Пример 1 (бином Ньютона). Разложить функцию f(x) = (а + х)т в ряд Тейлора.
Решение. Согласно (8.8) имеем:
(в+,г=/(о)+ш,+айи+...+^х-
Последовательно дифференцируя / (ж) = (а + х)т, находим: f{x) = (а + х)т, f{k\x) = mim - l)...(m - (k - 1))(а + x)m~k,
/(0) = ага, /(*)(0) = m (m - 1) ... (m — (k — 1)) am~k,
где k = 1, 2, ... , m.
8.9. Формула Тейлора
137
Откуда вытекает биномиальная формула Ньютона:
(а + х)т = ат + т а™-1 х + Ш 1} ат~2 х2 + ... + хт
(ее называют также биномом Ньютона). В частности, при а = 1 получаем:
