Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
{h{x)-f2{x))' = f[{x)-f2{x) = 0.
В силу следствия 1
fi(x) — /2(2?) = const, х G X. ¦
Прежде чем переходить к формулировке следующей теоремы, напомним, что корнем (или нулем) функции у = f(x) называют такое значение ее аргумента, при котором функция обращается в нуль. Геометрически корень функции означает абсциссу точки, в которой график функции пересекает ось Ох или касается ее.
Теорема Рол ля. Между двумя различными корнями дифференцируемой функции содержится по меньшей мере один корень ее производной.
? Пусть а и b — различные корни дифференцируемой функции, т. е. f(a) = 0, f(b) = 0. Из теоремы Лагранжа получаем
f'(c)(b-a) = 0, a <c<b.
Так как b — а ф 0 (корни различны), то f'(c) = 0. ¦
Теорема Ролля имеет простую геометрическую интерпретацию. Между значениями а и b имеется по меньшей мере одно значение с, такое, что в точке С(с, f(c)) графика функции касательная параллельна оси Ох (рис. 8.1).
РОЛЛЬ (Rolle) Мишель (1652-1719) — французский математик, член Парижской Академии наук. В 23 года решил одну из задач, которую не смог до конца решить известный в то время математик Ж. Озанам. Впоследствии чисто алгебраическими средствами для случая многочлена доказал теорему, которая теперь носит его имя. Ролль долгое время критиковал анализ Р. Декарта и исчисление бесконечно малых Г. Лейбница. Хотя эта критика в большинстве случаев была бездоказательной, но она заставила Г. Лейбница внимательнее отнестись к обоснованию основ анализа.
Теорема Коши. Если у = f(x) и у = <р(х) — две функции непрерывные на отрезке [а, Ь] и дифференцируемые в интервале (а, 6), причем р'(х) ф 0 для любого х G (а, 6), то между а
8.8. Теорема о конечном приращении и ее следствия
131
и b найдется такая точка с, что
f(b)-f(a) = /'(с^ </?(&)-</? (а) <р'(с)'
Замечание. Знаменатель в левой части равенства отличен от нуля (допустив противное, т. е. (р(Ь) — ср(а), получили бы (р'(с) = 0, что противоречит условию), поэтому выражение в левой части равенства имеет смысл.
? Введем в рассмотрение функцию
Р(») = /(,)-/(.)-М^ И»)-*.».
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно, во-первых, она дифференцируема в интервале (а, 6), так как дифференцируемы в нем функции f(x) и ip(x):
Во-вторых, F(x) непрерывна на отрезке [а, 6], поскольку непрерывны на нем функции f(x) и <р(х). В-третьих, на концах отрезка [а, Ь] функция F(x) обращается в нуль:
fW = /(.)-/<-)- ш -„(.» = о,
F(») =/(Ц - Л.)-Ш^М»)-»,(.)) =0.
Следовательно, между а и b найдется такая точка с, для которой F'(c) = 0, т. е.
v у ?>(&)-?>(а) Y У '
откуда
/(6) - /(а) _ /(с) _
</?(&)-</? (а) <р'(с)'
С помощью теоремы Коши может быть доказано важное правило, которое позволяет находить пределы дроби f(x) : у?(ж), числитель и знаменатель которой при ж —> а стремятся к нулю или бесконечности.
Теорема (правило Лопиталя—Бернулли). Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций
5*
132
Гл. 8. Основные теоремы о производных
равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.
Итак, если имеется неопределенность вида f jj j или (—
то
БЕРНУЛЛИ (Bernoulli) Иоганн I (1667-1748) — швейцарский математик, иностранный почетный член Петербургской Академии наук (1725), профессор математики Гронингенского и Базельского университетов. Был деятельным соратником немецкого ученого Г. Лейбница в разработке дифференциального и интегрального исчислений, в области которых им был сделан ряд открытий. Он развил теорию показательной функции, вывел правило раскрытия неопределенностей типа - (носящее имя Лопиталя-Бернулли), указал методы
интегрирования рациональных дробей, вычисления площадей плоских кривых, дал определения понятия функции как аналитического выражения и др. В геометрии он дал определение пространственных координат, занимался различными специальными кривыми и др. Ему принадлежат также ценные работы по механике, в частности он дал весьма четкое понятие работы и для простейших случаев сформулировал так называемый «принцип виртуальных скоростей». Среди многочисленных учеников Иоганна Бернулли были такие известные математики как Л. Эйлер, маркиз де-Лопиталь и его сыновья Даниил, Иоганн II, Николай II.
ЛОПИТАЛЬ (Lhopital) Гийом Франсуа Антуан (1662-1704) — французский математик, член Парижской Академии наук. Родился в Париже. Издал первый печатный учебник по дифференциальному исчислению — «Анализ бесконечно малых» (1696). В книге есть правило нахождения предела дроби, числитель и знаменатель которой стремятся к нулю. Это правило теперь называют его именем. Кроме того, он создал курс аналитической геометрии конических сечений. Ему также принадлежит исследование и решение с помощью математического анализа нескольких трудных задач по геометрии и механике.
? Для простоты рассмотрим доказательство теоремы в случае, когда функции f(x) и (р(х) дифференцируемы в окрестности точки х = а, обращаются в нуль в этой точке и существует предел отношения f'(x) : (f'(x) при х —> а.
