Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 35

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 123 >> Следующая

В верхней части таблицы приведены производные основных элементарных функций, в нижней — правила дифференцирования. Среди формул есть сходные пары, которые легче запомнить вместе. Поэтому все формулы в таблице приводятся парами.
8.4. Логарифмическая производная
Определение. Логарифмической производной положительной функции у = f(x) называется производная (1пу)'х.
Так как (In х)1 = —, то по правилу дифференцирования сложной функции получим следующее соотношение для логарифмической производной
Если производную у' рассматривать как скорость изменения функции у, то величина у'/у является ее относительной скоростью изменения. Поэтому логарифмическую производную (In у)7
{\пу)'=у-.
(8.1)
8.4- Логарифмическая производная
123
Таблица производных
/(*) /'(*)
1 1
2 жа a xa~x
3 ех ex
4 ах ax In а
5 In ж 1 x
6 logax 1 x In а
7 sin х cos ж
8 cos ж — sin x
9 1 cos2 ж
10 ctgx 1 sin2 x
11 arcsin x 1 л/1-ж2
12 arccos x 1 y/l-x2
13 arctg x 1 1 + ж2
14 arcctg x 1 1 + ж2
15 с 0
16 u(x) ± v(x) ±г/(ж)
17 с u(x) с г/'(ж)
18 u(x) • v(x) u'(x) v(x) + u(x) v'(x)
19 u(x) u'(x) v(x) — u(x) v'(x)
v(x) v2(x)
20 f(u(x)) f'u(u) • u'x(x)
124
Гл. 8. Основные теоремы о производных
называют также относительной скоростью изменения функции у или ее темпом роста.
Для не обращающейся в нуль функции у = f(x) логарифмическую производную определяют как (In 12/1)7 - Поскольку (In \х\)' = то формулу (8.1) можно записать в более общем виде
С помощью логарифмической производной удобно вычислять обычную производную в тех случаях, когда логарифмирование упрощает вид функции. Одним из таких случаев является дифференцирование функции у = хх.
V Пример 1. Найти производную функции у = хх.
Решение. Функцию у = хх нельзя назвать степенной хп, поскольку показателем степени является не число п, а переменная х. Не является она и показательной (аж), поскольку основанием степени является не число а, а переменная х. Вместе с тем функция хх напоминает и степенную, и показательную. Поэтому ее называют степенно-показательной функцией.
Для дифференцирования этой функции нельзя непосредственно применить формулы дифференцирования степенной или показательной функции. Формула вычисления производной такой функции основана на использовании логарифмической производной.
Логарифмирование упрощает вид функции: \пу = \пхх = = х In х. Дифференцируя, находим (In у)' = х' In х + х (In х)1 =
у'
= In х + 1 или — = In х + 1. Откуда
Используя логарифмическую производную, найдем производную произвольной степенно-показательной функции у = = uv, где и = и(х), v = v(x) — дифференцируемые функции, производные которых известны: у' = y(lny)f = uv (v In и)' =
у' = у№\у\у.
(8.2)
у
у' = у (Inж + 1) = хх (\пх + 1). А
v' In и + v — ). Отсюда
у' = v uv In и + v и
8.5. Производная функции, заданной параметрически
125
Таким образом, для того чтобы найти производную степенно-показательной функции, достаточно дифференцировать ее вначале как показательную, а затем как степенную, и полученные результаты сложить.
V Пример 2. Найти производную функции у = (sinx)ln:z\
Решение.
у' = (In ж)7 (б\пхУпх In sin ж + In ж (sinx)1^-1 (sin ж)7. Следовательно, ?/= (sin ж)1пж (^п8тх + ctgx ]. А
8.5. Производная функции, заданной параметрически
Плоские кривые часто задаются уравнениями вида х = x(t), у = y(t), где переменная ?, называемая параметром, пробегает некоторый промежуток значений Т. Чтобы построить кривую, заданную параметрически, нужно задать ряд значений параметра t по формулам х = x(t), у = y(t), вычислить соответствующие значения х и у, отметить полученные точки (ж, у) на координатной плоскости и соединить их плавной линией. Из курса геометрии известны параметрические уравнения окружности х2 + у2 =
2 2
= R и эллипса —~ Л—т = 1, которые соответственно имеют вид а Ь
(х = R cost, (х = a cost, [у = R sin ?, [у = b sin t,
где t G [0, 2тг].
Теорема 1. Пусть функции х = x(t), у = y(t) непрерывны на [а, /3], дифференцируемы в (а, /3), причем x'(t) сохраняет постоянный знак на этом интервале. Пусть далее [а, Ь] — область значений функции х = x(t). Тогда уравнения х = x(t), у = y(t) определяют непрерывную на [а, Ь] и дифференцируемую в (а, Ь) функцию у = у(х), причем
i = у \ч
х Aty
126
Гл. 8. Основные теоремы о производных
? По условию xf(t) сохраняет постоянный знак; пусть для определенности x'(t) > 0. Тогда функция x(t) монотонна и непрерывна на [а, /3]; значит, она обратима и производная обратной функции t(x) вычисляется по формуле tf(x) = lj x'(t).
Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции у = y(t{x)), получим
у'х = y't. t'x = y't ¦ ± = Ш
V Пример 1. Найти производную функции, заданную параметрически: х = R cost, у = R sint, где t G [0, тг] (параметрические уравнения полуокружности радиуса R с центром в начале координат).
Решение.
// \ y'(t) (R sin tV cos t , ,
y'(x) = ^r-i = j--J-- =--:— = -ctgt.
y v ; x'(t) (R cost) sint 5
Если необходимо выразить ответ с помощью переменной ж, то можно воспользоваться представлением t = t(x) = arccos (x/R):
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed