Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Пусть стоимость провоза по железной дороге т, тогда стоимость провоза по шоссе будет km. Общая стоимость Р провоза из А в В равна Р = тх + km \J а2 + (I — х)2 . Следовательно, нужно найти наименьшее значение функции f(x) = = х + к л/а2 + (I — х)2 , (0 ^ х ^ /). Она имеет смысл при всех х. Поэтому критические точки функции f(x) могут быть только среди стационарных. Приравняем производную к нулю:
л/а2 + (1-х)2 +к(х-1)
= 0.
Vfl2 + (/ - ж)2
Тогда
^а2 + (1- х)2 +к(х
-0=0, а2 + (1-х)2 = к2(1-х)2, -Х)2(к2-1) = а2.
160
Гл. 9. Исследование функций
Отсюда следует, что единственной критической точкой в интервале (0, +оо) является
лД2 - 1 '
Рассмотрим два случая. Первый случай — найденная точка попадает в интервал (0, /), второй — найденная точка не попадает в интервал (0, /).
Первый случай. Если найденная точка лежит в интервале (0, /), то производная f'(x) при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс. Поэтому найденная точка дает наименьшую стоимость перевозок.
Второй случай. Если же найденная точка не попадает в интервал (0, /), то производная неотрицательна в промежутке [0, /], а значит сама функция f(x) неубывает на этом отрезке и поэтому наименьшая стоимость перевозок достигается при х = 0. Второй случай показан на рис. 9.12, б.
9.5. Выпуклость функции. Точки перегиба
График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым вниз в данном промежутке, если соответствующая часть графика расположена выше касательной, проведенной в любой точке промежутка.
Аналогично, график дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым вверх в промежутке, если соответствующая часть кривой расположена ниже любой касательной (рис. 9.13).
у.
у
х
0
Рис. 9.13. Выпуклость вниз и выпуклость вверх
х
Теорема 1 (Достаточное условие выпуклости графика функции). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции у = f(x) в данном промежутке X положительна,
9.5. Выпуклость функции. Точки перегиба
161
то график ее является выпуклым вниз в этом промежутке; если f"(x) < О, то график является выпуклым вверх в соответствующем промежутке.
? Пусть функция у = f(x) такова, что f"(x) > О для всех х из промежутка X. Фиксируем xq Е X, запишем уравнение касательной в этой точке, обозначив текущую ординату касательной через у:
У-/Ы = /'Ы(х-х0). (9.6)
Разложим данную функцию в окрестности xq по формуле Тейлора, приняв п = 2 :
y = f(x) = /Ы + /'Ы (х -х0) + ?^(х- х0)2, (9.7)
где с лежит между х и xq.
Из формул (9.6) и (9.7) получаем у — у = ^ (х — xq)2.
Поскольку (х — xq)2 > 0 и по условию f"(c) > 0, то у — у > О, или у > у.
Последнее неравенство означает, что график функции у = = f(x) лежит выше касательной. Следовательно, в промежутке X график функции будет выпуклым вниз.
Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. ¦
у" > 0 у" < О
Рис. 9.14. Выпуклость вниз и выпуклость вверх
На рис. 9.14 изображены «личики», которые помогут запомнить утверждение доказанной теоремы. Два знака (глаза) личика напоминают, что достаточное условие выпуклости исходит из знака второй, а не первой производной. Конфигурация рта, характеризующая улыбку или грусть, означает выпуклость вниз или вверх.
6 Я. М. Ахтямо]
162
Гл. 9. Исследование функций
Первое личико — это «рисунок» первого утверждения теоремы. Если глаза личика блестят (+ +), то оно улыбается. Значит, если знак второй производной плюс, то функция выпукла вниз.
Второе личико — это «рисунок» второго утверждения теоремы. Если глаза личика не блестят (--), то оно грустит. Значит,
если знак второй производной минус, то функция выпукла вверх.
Необходимое условие выпуклости слабее: если функция выпукла в промежутке X, то можно утверждать лишь, что f"(x) ^ 0 (или f"(x) ^0),жЕ X. Например, функция у = х4 выпукла вниз на всей числовой оси, хотя вторая производная у" = = 13 ж2 не всюду положительна: /"(0) = 0 при х = 0.
Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.
Эквивалентное определение: точкой перегиба графика функции у = f(x) называется точка М(жо, f(xo)), ПРИ переходе через которую меняется направление выпуклости кривой.
Если, например, для х < xq кривая является выпуклой вверх и М(жо, f(xo)) — точка перегиба, то для х > жо кривая становится выпуклой вниз.
Иными словами, точка перегиба графика функции — эта точка, в которой кривая переходит с одной стороны касательной на другую ее сторону (рис. 9.15).
Из теоремы 1 следует, что у дважды дифференцируемой функции в тех промежутках, в которых вторая производная не равна нулю, не может быть точек перегиба. Отсюда вытекает следующая теорема.
х Теорема 2 (необходимое усло-> вие перегиба). Если М(жо, f(xo)) ~ точка перегиба графика функции у = Рис. 9.15. Точка перегиба = то f"(x0) = 0.
Теорема 3 (достаточное условие перегиба). Если при переходе через точку ж = жо вторая производная дважды дифференцируемой функции у = f(x) меняет знак, то М(жо, f(xo)) ~ точка перегиба графика этой функции.
