Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
4-5. Сравнение бесконечно малых
65
если а(х) = 6х и /3(х) = 2 ж, то
су ( x ) 6 x
lim ! = lim — = lim 3 = 3.
ж->о /3(х) ж->о 2х ж->о
Более того, предел отношения двух бесконечно малых величин является неопределенной величиной -. В зависимости от того, какие конкретные бесконечно малые рассматриваются, этот символ может быть равен произвольному числу, или символу бесконечности. Действительно, вычислим следующие пределы отношения бесконечно малых:
5 ж 11 г г 1 — = lim 5 = 5,
ж->-0 x ж-И)
lim -^т = lim — = оо
ж->0 х ж^О x
х2 lim — = lim х = 0.
ж->-0 x ж^О
В первом случае предел отношения бесконечно малых равен 5, во втором — символу бесконечности, в третьем — нулю.
Поэтому частное бесконечно малых называют неопределенностью вида jj, а нахождение предела дроби называют раскрытием неопределенности.
су. ( x )
Определение. Если отношение ^ ^ двух бесконечно малых
величин само бесконечно мало, то а(х) называется величиной более высокого порядка малости, чем /3(ж); при этом /3(х) называется величиной более низкого порядка малости, чем а(х). су(х)
Если отношение двух бесконечно малых величин стре-
р\Х)
мится к конечному пределу, не равному нулю, то а(х) и /3(х) называются бесконечно малыми одного порядка малости. В част-
су ( x )
ности, если отношение ч двух бесконечно малых величин
/3(х)
стремится к 1, то а(х) и /3(х) называются эквивалентными. В этом случае пишут а(х) ~ /3(х).
3 Я. М. Ахтямов
66
Гл. 4- Предел функции и непрерывность
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.
Пусть а(х) — бесконечно малая при х —> 0. Тогда
sin а(х) ~ а(х) tga(x) ~ а(х) In (1 + а(х)) ~ а(х) 1 — cosa(x) ~ («(^)) /2
arcsin а(х) ~ а(х)
arctg а(х) ~ а(х) а^{х) _ j _ а(ж) .ina
(1 + се(ж))р — 1 ~ ра(х).
Принцип замены эквивалентных. Если функции а(х) и (3(х) являются бесконечно малыми при х —> а и если а(х) ~ ~ 7(ж), /3(х) ~ то
V Пример. С помощью принципа замены эквивалентных вычислить пределы:
ч sin 6х
а) пт
ж->0 In (1 + Зж) 1 — cos х
б) lim
ж-И) arctg хЛ
Решение.
ч sin6x 6ж _
а) lim -—--—— = lini — = Z:
ж->о In (1 + Зж) ж->о Зж
^ч 1 — cos х х2/2 1
б) 11 г г 1 -Т = 11 г г 1 —^- = -. а
ж->0 arctg ж ж->0 х 2
4.6. Основные теоремы о пределах
Пусть f(x) и д(х) — функции, для которых существуют пределы при х —> а (мы не исключаем случая а = оо):
Yimf(x) = b, Yimg(x) = c.
Сформулируем основные теоремы о пределах.
1. Функция не может иметь более одного предела.
4-6. Основные теоремы о пределах
67
2. Предел алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме пределов этих функций, т. е.
lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций, т. е.
lim (f(x) • g(x)) = lim f(x) • lim g(x).
X—Yd X—Yd
В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.
lim (с • f(x)) = с • lim f(x).
4. Предел частного равен частному пределов, если предел делителя не равен нулю:
х^а g(x) lim д(х)
В случае, когда lim д(х) равен нулю, но lim f(x) ф 0, теорема
X Yd X Yd
остается верной, если ее истолковать в более широком смысле. Запись lim f(x) = (-) (с — число, не равное нулю) следует по-
<0>
нимать в том смысле, что
lim f(x) = оо.
Таким образом, можно считать
(§)-
оо.
Выражение - взято в скобки, ввиду условности этой записи.
Аналогичные записи можно ввести и для односторонних пределов:
= +0°'
-О
= —оо,
при с > 0.
3*
68
Гл. 4- Предел функции и непрерывность
V Пример 1. Найти пределы
lim — и lim —.
ж-^-0 x ж-^+0 x
Решение.
lim — = lim — = ( — ) = —оо.
х Л ж \ —О у
ж->-о 4
ж<0
lim — = lim — = ( — ) = +оо. а
ж->+0 х -х V+0>
ж—>-0 4 J
ж>0
В случае, когда lim f(x) = О и lim g(x) = О, теорема непри-ж у сь ж У CL
0 тт
менима, так как выражение - является неопределенным. Но
неверного результата теорема не может дать и в этом случае.
«Сокращать» на нуль и писать 1 вместо -, конечно, нельзя. Этот
символ служит сигналом, закрывающим прямой путь подстановки и заставляющим искать путь раскрытия этой неопределенности (например, с помощью сокращения общих множителей).
5. Если lim f(u) = с, lim g(x) = 6, то предел сложной функ-ции
lim f{g(x)) = с.
6. Если существуют конечные пределы
lim f(x) = b > О, lim g(x) = с,
ж—>-а
имеет место соотношение
^jm)'^ = (^am)^eix) = b
7. йуш в некоторой окрестности точки а (окрестностью точки оо считаем множество достаточно больших х) выполняется нестрогое неравенство f(x) ^ д(х), то для соответствующих пределов выполнено нестрогое неравенство:
lim f(x) ^ lim g(x).
4-7. Непрерывность функции
69
(Заметим, что если в окрестности точки а выполняется строгое неравенство f(x) < д(х), то утверждение теоремы сохраняет свою силу, так как из строгого неравенства в пределе получается, вообще говоря, нестрогое.)
8. Если в некоторой окрестности точки а функция f(x) заключена между двумя функциями и(х) и v(x), имеющими одинаковый предел b при х —> а, то функция f(x) имеет тот же предел b :
