Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
V Пример 3. Можно написать:
lim ех = +оо или lim ех = оо.
х—>-\-ос х—>-\-ос
Вторая запись оставляет открытым вопрос о знаке функции ех. Но нельзя под знаком предела вместо х —> +оо написать х —> оо. Последняя запись включала бы и тот случай, когда х —> — оо, что было бы неверно, так как
lim ех =0. А
Заметим, что бесконечно большая величина не имеет предела в смысле определений предыдущего параграфа, ибо никак
62
Гл. 4- Предел функции и непрерывность
нельзя сказать, например, что разность между f(x) и оо остается меньшей заранее данного положительного числа. Таким образом, введение бесконечного предела расширяет понятие предела. В отличие от бесконечного предела предел, определенный ранее, называется конечным.
2. Односторонние пределы. Если любая последовательность хп —> а, хп < а (а — число или символ —оо) при любом п Е N, то говорят, что функция f(x) при х —> а (слева) имеет левый односторонний предел
Символическая запись х —> а — О обозначает, что х принимает лишь значения, принадлежащие интервалу (с, а) с < а. Для существования одностороннего предела от функции достаточно потребовать, чтобы функция f(x) была определена лишь в интервале (с, а) с < а, т. е. левее точки а. Поэтому соответствующее значение обозначается символически f(a — 0).
Говорят, что функция f(x) при хп —> а (справа) имеет правый односторонний предел
если функция f(x) была определена в некотором интервале (a, d) (а — число или символ +оо), т. е. правее точки а, и любая последовательность хп —> а, хп > а (а — число или символ — оо) при любом n Е N.
V Пример 4. Найти пределы
lim \х] ж->1-(Г J
и
lim \х]
ж->1+(Г J
где [х] — целая часть х. Решение.
lim [х] = lim [ж] = 1. А
Если f(x) имеет в точке а (а — число) односторонние пределы f(a — 0) и f(a + 0) и f(a — 0) = f(a + 0) = b (b — число
4-4- Бесконечно малая величина
63
или один из символов — оо или +оо. Тогда f(x) имеет в точке а обычный (двусторонний) предел lim = f(a) = b.
Если односторонние пределы различны, т. е. f(a — 0) ф Ф f(a + 0), то не существует и предела функции при х —> а.
В примере 4 показано, что односторонние пределы функции у = [х] не совпадают. Отсюда следует, что эта функция не имеет предела при х —> 1.
4.4. Бесконечно малая величина
Определение. Бесконечно малой величиной называется величина, предел которой равен нулю.
V Пример 1. Функция х2 — 4 есть бесконечно малая величина при х —> 2 и при х —> —2. При х —> 1 та же функция не является бесконечно малой, ибо ее предел равен —3. А
V Пример 2. Функция sin х есть бесконечно малая величина при х —> 0 и при х —> тг. При х —> 7г/2 та же функция не является бесконечно малой, так как ее предел равен 1. А
5 х + 3
V Пример 3. Функция-не является бесконечно малой
х + 1
величиной при х —> 1. А
3
V Пример 4. Последовательность — есть бесконечно малая
п
величина, ибо предел этой последовательности равен нулю. А
Из определения бесконечно малой величины следует, что утверждения «число b есть предел величины у» и «разность у — b есть бесконечно малая величина» равнозначны.
5 х + 3
V Пример 5. Уравнение lim -= 4 эквивалентно фразе
Х->1 х + 1
5 х + 3
«величина--4 бесконечно мала». А
х + 1
Из постоянных величин лишь нуль является бесконечно малой величиной.
Основные свойства бесконечно малых величин
1. Сумма двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
Это свойство и для трех, четырех и вообще любого неизменного числа слагаемых бесконечно малых величин. Если число слагаемых не остается неизменным, а меняется вместе с изменением
64
Гл. 4- Предел функции и непрерывность
аргумента, то свойство 1 может потерять силу. Так, если имеем п
слагаемых равных —, то при п —> оо каждое слагаемое бесконечно п
мало, но сумма
11 11
- + - + ... + - = - -п
п п п п
равна 1.
2. Произведение ограниченной величины на бесконечно малую величину есть бесконечно малая величина.
В частности, произведение постоянной величины на величину бесконечно малую, а также произведение бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.
3. Частное от деления бесконечно малой величины на переменную величину, стремящуюся к пределу, не равному нулю; есть бесконечно малая величина.
Эти свойства доказываются по определению. Поскольку они интуитивно понятны и легко запоминаются, доказательства опускаем.
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Из определений бесконечно большой и бесконечно малой величин следует, что если у — бесконечно большая
величина, то — — бесконечно малая: если у — бесконечно малая у
величина, то — — бесконечно большая. у
5
V Пример 6. Величина-- — бесконечно большая при х —>
х — 1
х — 1
—> 1. Обратная дробь —-— — бесконечно мала при х —> 1. а
о
V Пример 7. Величина tgx бесконечно мала при х —> О,
величина - = ctgx бесконечно велика при х —> 0 (вспомните
графики этих основных элементарных функций). а
4.5. Сравнение бесконечно малых
Пусть а(х) и /3(х) — бесконечно малые при х —> а. Их частное может и не быть бесконечно малым. Действительно,
