Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
В определении сходимости и предела последовательности нет ясного указания на то, как проверять сходимость и как находить предел. Поэтому для вычисления пределов используются специальные критерии. Этим критериям и посвящен следующий параграф.
3.2. Существование предела монотонной ограниченной последовательности
При вычислении пределов используются понятия монотонной и постоянной последовательностей. Введем эти необходимые понятия.
Последовательность {ап} называется постоянной, если ап = = с для любого п Е N, где с — некоторое действительное число (с G Е).
Последовательность {ап} называется ограниченной, если найдется число М такое, что \ап\ ^ М для всех п Е N.
Последовательность {ап} называется возрастающей (убывающей), если ап ^ an+i (ап ^ a,n+i) Для любого n Е N.
Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.
Последовательность {ап} называется строго возрастающей (строго убывающей), если ап < ап+\ (ап > an+i) для любого п Е N.
Строго возрастающие и строго убывающие последовательности называются строго монотонными последовательностями.
V Пример 1. Даны последовательности:
1) 1, 2, 3, ... ,п,
2) 2,2,2, ...,2,
3) 1 1 1 1 •
4) 1 i i -1
5) 1, -1, 1, ...,(-1)", ....
Определить являются ли эти последовательности монотонными.
48
Гл. 3. Предел последовательности
Решение. Первая последовательность является строго возрастающей, так как ап = п<п + 1 = ап+\ для любого n Е N.
Вторая последовательность является постоянной, так как ап = 2 = const для любого п Е N.
Третья и четвертая последовательности являются строго убы-
11 11
вающими, так как ап = - > ——- = an+i и ап = —- > —ш =
п п +1 2 2 +
= an+i для любого п Е N.
Таким образом, первые четыре последовательности являются монотонными.
Пятая последовательность не является монотонной, так как последующий член в одних случаях больше, а в других случаях меньше предыдущего. А
V Пример 2. Какие из последовательностей примера 1 являются ограниченными?
Решение. Первая последовательность 1, 2, 3, ...,п, ... не
является ограниченной, поскольку для любого числа М всегда найдется номер N (например, N = [М] + 1), для которого адг > > М.
Поскольку для второй последовательности \ап\ ^ 2, для третьей, четвертой и пятой последовательностей \ап\ ^ 1, то эти последовательности ограничены. А
Доказано, что последовательности, обладающие как свойством ограниченности, так и свойством монотонности, имеют предел.
Теорема 1. Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится.
Из пяти последовательностей, рассмотренных в примерах 1 и 2, свойствами и монотонности и ограниченности обладают три последовательности — вторая, третья и четвертая. Поэтому они имеют предел.
Теорема 1 дает возможность находить сходящиеся последовательности, но не дает возможности вычислять их пределы. Для вычисления пределов используются другие теоремы. Приведем здесь три из них.
Теорема 2. Пусть дана постоянная числовая последовательность {ап}, где ап = с = const для любого п Е Е. Тогда она
3.2. Существование предела
49
сходится и
lim с = с
п—>-\-ос
(предел постоянной равен постоянной).
? Возьмем произвольное е > 0 и пусть N — любое число (N е Е). Тогда Vn > TV, \ап - а\ = \с - с\ = 0 < е. ¦
Из этой теоремы следует, что предел второй последовательности, рассмотренной в примере 1, равен двум.
Теорема 3. Последовательность {ап} с общим членом ап =
— ~^ (а > 0, a Е Е) сходится и
lim —— = 0. а > 0.
/1\1/а
? Возьмем произвольное е > 0 и пусть TV = ( - 1 . Тогда Vn > TV,
\ап - 01 = —:7 < -Т777 =
7Va
1/с*
\0"п — 01 < ?.
Для третьей последовательности из примера 1 показатель степени а = 1 > 0, поэтому предел последовательности равен нулю:
lim — = 0.
Теорема 4. \q\ < 1 (g G
{g™} сходится и
то последовательность
lim <7П = 0, |qr| < 1.
п—>-+оо
? Возьмем произвольное ? > 0 и пусть TV = log^ е. Тогда Vn > TV,
Четвертая последовательность, рассмотренная в примере 1, имеет предел. Найдем его. Общий член последовательности имеет
1 (1\п вид qn, где q = - < 1. Из теоремы 4 имеем lim - =0.
2 n^+oo V 2 /
50
Гл. 3. Предел последовательности
3.3. Действия над сходящимися последовательностями
Сформулируем теоремы о действиях над сходящимися последовательностями, которые очень часто облегчают нахождение пределов.
Теорема 1. Если последовательности {ап} и {Ьп} сходятся, то сходится последовательность {ап ± Ьп} и справедлива формула
' ' (3-2)
lim (ап ± bn) = lim ап ± lim bn.
Краткая формулировка этой теоремы следующая: предел суммы равен сумме пределов.
Для последующих теорем точные формулировки опускаются и приводятся только их краткие формулировки.
Теорема 2. Предел произведения равен произведению преде-
лов:
lim (ап • bn) = lim ап • lim bn.
(3.3)
Теорема 3. Постоянную величину можно выносить за знак предела:
' ' (3-4)
lim (с • ап) = с • lim ап.
п—>-+оо п—>-+оо
Теорема 4. Предел отношения равен отношению пределов:
г—>-+оо Оп
lim ап
n—t+oc
