Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 20

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 123 >> Следующая

и(х) ^ f(x) ^ v(x), lim и(х) = 6, lim v(x) = b
lim fix) = b.
x^a J V J
? Докажем в качестве примера первое свойство. Предположим противное, т. е. что функция f(x) имеет два разных предела b и с:
lim fix) = 6, lim fix) = с, b Ф с.
х^а J V ) ' х^аJ V ) ' '
Поскольку утверждения «число b есть предел величины у» и «разность у — b есть бесконечно малая величина» равнозначны, то величины
а(х) = f(x) - 6, р{х) = f(x) - с
бесконечно малы при х —> а. Вычитая почленно эти равенства, получим
а(х) — (3(х) = с — b ф О,
что невозможно, поскольку переходя в этом равенстве к пределу при х —> а, имеем: 0^0. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно. ¦
4.7. Непрерывность функции
Пусть над столом висит на резиновой нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние / груза от точки подвеса нити является функцией массы груза га, т. е. / = = /(га), т ^ 0.
Если немного изменить массу груза, то расстояние / изменится мало. Таким образом, малым изменениям га соответствуют малые изменения /. Однако если масса груза близка к пределу прочности то нити, то небольшое увеличение массы груза может вызвать разрыв нити: расстояние / скачкообразно увеличится
70
Гл. 4- Предел функции и непрерывность
и станет равным расстоянию от точки подвеса до поверхности стола.
График схематически изображен на рис. 4.1. Мы видим, что на участке [0, то) этот график является непрерывной (сплошной ^ линией), а в точке то он прерывается. В
результате получается график, состоящий из двух ветвей. Говорят, что во всех точках, кроме то, функция / = f(m) непрерывна, а в точке то она имеет разрыв.
Точки непрерывности характеризуются _ тем, что при малых изменениях аргумента
0 ttiq тп мало меняется значение функции, а точки
рис ^ ^ разрыва — тем, что в них при малых изме-
нениях аргумента изменения функции могут быть значительными. Данное понятие непрерывности весьма далеко от точности, оно является незавершенным, описательным. Дело в том, что использованные в этом определении слова «малое изменение» никакого математического смысла не имеют.
Пусть а — точка числовой прямой, и у = f(x) — функция, определенная при х = а. Очевидно, что если функция непрерывна, то для точек х близких к точке а, значения f(x) и f(a) также близки друг к другу. Смысл утверждения «если х близко к а, то f(x) близко к / (а)» с помощью математических символов можно записать так: «если х —> а, то f(x) —> f(a)».
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если функция имеет конечный предел в точке а и этот предел совпадает со значением функции в этой точке, т. е.
Нт/(Ж) = /(а).
Так как lim х = а, то это равенство можно переписать в следующей форме:
lim fix) = f (lim x).
x^a J V ) J Ух^а )
Последнее равенство означает, что для непрерывной функции символы предела и функции можно менять местами. Это дает основание сформулировать следующее правило: Если функция f(x) непрерывна в точке а, то при вычислении предела функции при х —> а, надо вместо х в выражение f(x) подставить а. Полученное число и является пределом функции f(x) в точке х = а.
4-7. Непрерывность функции
71
Определение 1 именуют определением непрерывности на языке предела.
Существует и другое определение непрерывности.
Дадим аргументу а приращение Ах = х — а. Тогда функция получит приращение Ау, определяемое как разность наращенного и исходного значения функции: Ay = f(a + Ах) — f(a) = = f(x)-f(a).
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
lim Ay = 0.
Дж->0
Это определение называют определением непрерывности на языке приращений. Оно эквивалентно предыдущему, поскольку фразы «если х —> а, то f(x) —> f(a)» и «если (х — а) —> 0, то (f(x) — / (а)) —> 0» равнозначны.
Определение 3. Функция называется непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Теорема 1. Основные элементарные функции непрерывны в областях их определения.
? Докажем для примера эту теорему для функции у = х2. Доказательство на языке пределов:
lim f(x) = lim х2 = lim х • х = (lim х) • (lim х) =
ж—Уа ж—Уа ж—Уа ж—Уа ж—Уа
= а • а = а2 = f(a).
Здесь мы воспользовались свойством: предел произведения равен произведению пределов.
Доказательство на языке приращений:
lim Ay = lim ((а + Ах)2 - а2) =
= lim (а2 + 2 а Ах + (Ах)2 - а2) = lim (2 а + Ах) • (Ах) =
Дж->-0 Дж->-0
= lim (2 а + Ля) - lim (Ах) = 2 а • 0 = 0. ¦
Дж->0 Дж->0
72
Гл. 4- Предел функции и непрерывность
В предыдущем разделе были приведены графики основных элементарных функций и их свойства. В их числе для каждой функции была указана область определения D(f). Поэтому мы можем считать, что область непрерывности для каждой основной элементарной функции нами уже указана (в нашем перечне свойств она совпадает с ?)(/)).
Если мы научились находить области непрерывности основных элементарных функций, то следующий вопрос, который возникает, как находить пределы элементарных функций. С помощью основных теорем о пределах может быть доказана
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed