Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
V Пример 3. Кривая Филлипса. Как мы знаем, аналитическая зависимость между годовым темпом прироста ставки заработной платы у (в процентах) и общим уровнем безработицы х (в процентах) выражается формулой (1.1). Эта формула не дает наглядного представления о функции. График же этой функции, называемый кривой Филлипса и изображенный на рис. 1.2, позволяет как бы увидеть соответствующую зависимость. А
6 7 8 9 х
Рис. 1.2. Кривая Филлипса
1.4. Основные свойства функций
Под основными свойствами функции у = f(x) будем понимать следующие шесть:
1) область определения D(f);
2) область значений E(f);
3) четность, нечетность;
4) монотонность;
5) ограниченность;
6) периодичность.
Первые два свойства функции уже были определены. Ниже дается описание остальных четырех свойств функции.
Четность и нечетность. Функция у = f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения f(—x) = f(x) и нечетной, если f(—x) = —f(x). В противном случае функция у = f(x) называется функцией общего вида.
26
Гл. 1. Функция
V Пример 1.
1. Функция у = хп при четном п является четной функцией (так как f(—x) = (—х)п = хп = f(x)). Заметим, что отсюда и произошло само название четной функции.
2. Функция у = хп с нечетным показателем степени п является нечетной (f(—x) = (—х)п = —хп = — f(x)). Отсюда происходит название нечетной функции.
3. Функция у = х + х2 является функцией общего вида. Действительно, f(—x) = (—х) + (—х)2 = —х + х2 ф f(x) и f(—x) ф
График четной функции симметричен относительно оси ординат (например, график функции у = ж2), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (например, график функции у = х3). Поэтому для четной функции достаточно строить лишь правую половину графика (х ^ 0); левая половина его (х ^ 0) является зеркальным отражением правой относительно оси Оу. Чтобы построить график нечетной функции, достаточно изобразить правую половину его (ж ^ 0); левая половина графика (х ^ 0) получается в результате поворота правой на 180°.
Монотонность. Функция у = f(x) называется строго возрастающей (строго убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.
Более точно, функция у = f(x) называется строго возрастающей (строго убывающей) на промежутке X, если для любых двух значений х\ иж2, принадлежащих этому промежутку из неравенства Х2 > х\ следует неравенство f(x<i) > f(x\) (f(x2) < f(x\)).
Строго возрастающие и строго убывающие функции называются строго монотонными функциями.
Если последнее неравенство является нестрогим, то говорят о нестрогом возрастании (нестрогом убывании) функции или просто о возрастании (убывании) функции.
Функция у = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если для любых двух значений х\ и Ж2, принадлежащих этому промежутку из неравенства х<х > х\ следует нестрогое неравенство f(x<i) ^ f(x\) (f(x2) ^ f(x\)).
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями.
V Пример 2. Функция у = х3 является строго возрастающей на всей действительной оси.
1.5. Обратная функция
27
Функция у = х2 строго убывает при х G (—оо; 0] и строго возрастает при х G [0; —оо).
Функция у = 0,1х является строго убывающей на всей действительной оси. А
Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М > 0, что \f(x)\ < М для любого х G X.
V Пример 3. Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси, ибо | sin ж| ^ 1 для любого х G Е.
Функция у = ж3 не является ограниченной на всей действительной оси, поскольку не существует такого положительного числа М > 0, что \х3\ < М для любого х G Е. А
Периодичность. Функция у = f(x) называется периодической, если существует положительное число Т такое, что f(x + T) = f(x). Наименьшее число с таким свойством называется периодом функции.
Для построения графика периодической функции достаточно изобразить его на отрезке, длина которого равна периоду (основная область), а затем построить периодическое продолжение графика, повторяя график, нарисованный в основной области.
1.5. Обратная функция
Рассмотрим функцию у = х2. Выберем у
произвольное значение у = b > 0. Этому \
значению функции соответствуют два зна- \ b
чения аргумента х = — а и х = а на интер- V
вале (—оо, +оо) и одно значение х = а на _ V.
интервале (0, +оо). ~а
Говорят, что функция у = х2 необрати-ма на интервале (—оо, +оо) и обратима на интервале (0, +оо).
Определение 1. Функция у = f(x), определенная на промежутке X, называется обратимой на промежутке X, если любое свое значение она принимает только в одной точке этого промежутка; иными словами, если любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции:
xi ф х2 =Ф f(xi) ф f(x2).
Если под промежутком X рассматривается область определения функции, то, говоря об обратимости функции, слова «на
28
Гл. 1. Функция
промежутке X» обычно опускают. Выражения «функция у = х2 необратима, а функция у = х обратима» означают, что функции являются необратимыми или обратимыми на своей области определения.
