Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 15

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 123 >> Следующая

lim bn
n—t+oc
(3.5)
(Разумеется предполагается, что знаменатели справа и слева от знака равенства не равны нулю.)
? Ограничимся доказательством теоремы 1 для случая предела суммы. Пусть lim ап = a, lim bn = b. Возьмем произ-
п—>-\-ос п—>-\-ос
вольное число е > 0. Тогда существуют числа N\ и N2 такие, что при всех п > N\ \ап — а\ < в/2, при всех п > N2 \Ьп — Ь\ < е/2.
3.4- Числовые ряды
51
Пусть N% — число, большее, чем N± и Л^. Тогда при п > N3 последние два неравенства истинны одновременно. Поэтому
\(ап + Ьп) - (а + 6)| = \(ап - а) + (Ьп - Ь)\ ^
^ \ап -а\ + \bn -Ь\< е/2 + е/2 = ?
(использовано неравенство треугольника для модулей). Следовательно, последовательность ап + Ьп сходится и
lim (ап + bn) = а + b = lim ап + lim bn.
п—>-+оо п—>-+оо п—>-+оо
Остальные правила доказываются аналогично. ¦
V Пример. Используя теоремы о действиях над сходящимися
г /Зп + 2
последовательностями, вычислить lim -
Решение.
lim (^Л±1) = lim (3 + 1) = lim 3 + 2 lim - =
п—>+ос \ п J п—>+ос \ п J п—Y+OC п—Y+OC п
= 3 + 0 = 3. А
3.4. Числовые ряды
Путем деления всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в периодическую десятичную дробь. Дробь 1/3 можно представить в виде следующей бесконечной периодической дроби:
0,333....
Запишем ее иначе:
1/3 = 0,333... = — + — + — + ... . (3.6)
1 ' 10 100 1000 v ;
Это представление называется представлением числа 1/3 в виде ряда. Записанное равенство не означает, разумеется, что мы складываем бесконечно много чисел и в результате получаем 1/3. Бесконечное число суммирований нельзя произвести. Речь идет о том, что 1/3 является числом, от которого сумма отличается сколь угодно мало, если сложить достаточно много членов.
Поставим теперь обратный вопрос: для всякой ли периодической десятичной дроби (соответствующего ряда) найдется обыкновенная дробь, которая в нее преобразуется? Ответ на этот вопрос положителен. Для доказательства достаточно использовать бесконечную геометрическую прогрессию.
52
Гл. 3. Предел последовательности
Напомним некоторые сведения о геометрической прогрессии.
Геометрическая прогрессия. Геометрической прогрессией называется последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число q. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
Общий (n-й) член последовательности определяется по формуле
bn = b1-qn-\
где Ь\ — первый член прогрессии, a q — ее знаменатель.
Как найти сумму первых п членов прогрессии? Если q = О, то сумма первых п членов Sn = b\. Если q = 1, то очевидно, что Sn — Ь\ + ... + b\ = п • Ь\. Предположим теперь, что q ф 0 и q ф 1. Тогда
Sn = 61 + &i q + ¦ + bx qn~l = 6i (l + q + q2 + ...qn~l) .
Умножим обе части полученного равенства на q: qSn = b1 (q + q2 + q3 + ...qn) . Вычитая первое равенство из второго, получаем
(q-l)Sn = qSn-Sn = h (-1+ <?").
Поскольку q ф 1, то разделив обе части последнего равенства на (q — 1), получим сумму первых п членов геометрической прогрессии:
ап - 1 Sn = b,.q--±
Вернемся опять к бесконечным периодическим десятичным дробям, о которых шла речь выше, и рассмотрим дробь 0,333..., а также последовательность
Si = 0,3, S2 = 0,33, Sn = 0,33...3.
Это можно записать иначе:
5l = I5' S2 = To + W' -' Sn = To + W + - + W-
Sn является суммой первых п членов геометрической прогрессии, первый член которой Ь\ = —, а знаменатель q = —. Используя
3.4- Числовые ряды
53
формулу для суммы п членов геометрической прогрессии, получаем:
_ То j1 ~ lib") _ 1 (__Т_
Отсюда S = lim Sn =
n—>-оо 3
В результате мы преобразовали бесконечную десятичную дробь в обыкновенную.
Рассмотрим теперь в более общем виде последовательность {Sn} частичных сумм геометрического ряда
оо
ьг + ь2 + ... + ьп +... = 53 ьп,
к=1
получаемого из геометрической прогрессии, когда q ф 1.
1-q 1-q 1-q Если \q\ < 1, то qn —> 0 при n —» оо, поэтому
5 = lim Sn = ^ ^1 , если Ы < 1.
n—too 1 — г/
При других значениях g последовательность {Sn} не сходится.
Будем говорить, что бесконечный геометрический ряд сходится, если \q\ < 1 и его сумма
S = lim Sn = ^
n—>-оо 1 — q
Таким образом, под суммой бесконечного геометрического ряда мы понимаем предел последовательности его частичных сумм.
Пример геометрического ряда подводит нас к общему понятию числового ряда.
Определение. Бесконечным числовым рядом или просто числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел и\, U2, ..•, ип, ..., чисто формально соединенных знаком плюс:
ui + и2 + ... + ип + ... = 53
п=1
54
Гл. 3. Предел последовательности
Числа i^i, U2-) ..., ип, ... называются членами ряда, а член ип — общим или п-м членом ряда.
оо
Обозначение ^ ип читается как «сумма ип, где п изменяется
п=1
от 1 до оо». Часто это обозначение читают еще короче «сумма ип от 1 до оо».
Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда: Si = г/i, S2 = ui + U2, ... , Sn = г/i + г/2 + .» + Ип-
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed