Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
2.2. Элементарные функции
39
у 3 2
у 3 2
1
н-
-1 О
-1-
х
Л О
Рис. 2.21. Функция Дирихле и функция у = [х]
ДИРИХЛЕ (Dirichlet) Петер Густав Лежён (1805-1859) — немецкий математик, член Берлинской Академии наук. С 17 лет в течении 5 лет был домашним учителем в Париже. В 22 года — доцент в Бреславле. В 26 лет — профессор Берлинского университета. После смерти К. Гаусса (1855) — профессор Гетингенского университета. С именем Дирихле связаны задача, интеграл, принцип, функция, ряды и многое другое. Его лекции имели огромное влияние на выдающихся математиков более позднего времени.
Функция у = [х] (читается «у равно антье х») — целая часть от значений аргумента — задана для всех вещественных значений ж, а множество ее значений состоит из целых чисел. Ее график изображен на рис. 2.21.
Название элементарных функций сложилось исторически. В процессе развития математики и ее приложений элементарные функции появились сравнительно рано и играли важную роль, поэтому и символы, введенные для их обозначения, как, например, sin ж, стали хорошо известными и привычными. Но с точки зрения современной математики нет никакого основания называть элементарные функции более простыми , чем неэлементарные. Например, элементарная функция
у
sin x*
2х -3
In (х2 ^/cosx + 4)
не выглядит проще неэлементарной функции у = [х].
3. Преобразования графиков функций. Покажем, как из графика функции у = f(x) можно получить графики функций
40
Гл. 2. Элементарные функции
вида
у = Af(ax + b) + В, где Л, 5, a, b — некоторые действительные числа.
1. График функции у = f(x) + b получается из графика функции параллельным переносом.
\ у\ /
д А Если b > 0, то перенос совершается
д /J параллельно оси ординат на расстояние b
\\ // вверх, а если b < 0, то вниз на расстоя-
\ / ние На рис. 2.22 изображены графики
—I—|—I ч--^ I—I—г— функций у = х2 (пунктирной линией) и
у = х2 + 1 (сплошной линией).
Рис. 2.22
2. График функции у = f(x + а) также получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом.
Если а > 0, то график переносится параллельно оси абсцисс влево на расстояние а, а если а < 0, то вправо на расстояние \а\. На рис. 2.23 изображены графики функций у = х2 (пунктирной линией) и у = (х + I)2 (сплошной линией).
Рис. 2.23
3. График функции у = А/(ж), где А > 0, получается из графика функции у = f(x) растяжением или сжатием вдоль оси ординат.
Если А > 1, то график функции растягивается вдоль оси Оу в А раз, а если 0 < А < 1, то сжимается в 1/А раз. На рис. 2.24 изображены графики функций у = sin х (пунктирной линией) и у = 2 sin ж (сплошной линией).
Рис. 2.24
2.2. Элементарные функции
41
4. График функции у = f(a ж), где а > О, получается из графика функции у = f(x) сжатием к оси ординат или растяжением вдоль оси абсцисс.
График функции у = f(ax) есть график у = /(ж), сжатый (при а > 1) в а раз или растянутый (при 0 < а < 1) вдоль оси Ох. На рис. 2.25 изображены графики функций у = sin х (пунктирной линией) и у = sin 2х (сплошной линией).
5. График функции у = —f(x) получают из графика функции у = f(x) зеркальным отражением относительно оси абсцисс.
На рис. 2.26 изображены графики функций у = х2 (пунктирной линией) и у = —х2 (сплошной линией).
Рис. 2.26
6. График функции у = f(—x) получается из графика функции у = f(x) зеркальным отражением относительно оси ординат.
На рис. 2.27 изображены графики функций у = ах, где а > 0 (пунктирной линией) и у = а~х (сплошной линией).
Рис. 2.27
7. Рассмотрим теперь, как получается график функции y = Af(ax + b) + B1 где А > 0 и а > 0, из графика функции
у
лл1
Рис. 2.25
42
Гл. 2. Элементарные функции
у = f(x). Так как
y = Af(a (x + b/a))+B,
то сжатием вдоль оси абсцисс получим график функции у = = f(ax). Из этого графика сжатием вдоль оси ординат получим график функции у = Af(ax), из которого параллельным переносом вдоль оси абсцисс на \Ь/а\ единиц и вдоль оси ординат на \В\ единиц получим график функции у = Af(ax + b) + B.
Работайте, работайте, — полное понимание придет потом.
Даламбер
Глава 3 Предел последовательности
3.1. Понятие сходимости
Определение. Последовательностью называется числовая функция /(п), заданная на множестве натуральных чисел N.
В дальнейшем вместо f(n) будем писать ап.
Если п — натуральное число, а ап — значение последовательности в точке п, то говорят, что п называется номером числа ап, а само число ап называют общим или п-м членом последовательности. Для последовательности с общим членом ап употребляются следующие обозначения:
an, п = 1, 2, 3...;
КО;
{ап} •
Графиком последовательности является изолированное множество точек плоскости.
V Пример 1. Даны последовательности:
1) ап = а = 1, 2, 3...;
п
2)оп = (-1)п, п = 1, 2, 3...;
3) ап = п — 2, п = 1, 2,3....
Изобразить несколько первых ее членов на координатной плоскости.
Решение. Придавая п значения 1, 2, 3, 4, 5, получим: 11111
1) ах = -. а2 = а3 = -. а4 = аъ = -;
2) ai = -1, а2 = 1, а3 = -1, а4 = 1, аГ) = -1;
