Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Для удобства пользования пособием наиболее важные формулы выделены в рамку. В колонтитулах, помимо номеров страниц, указываются также номера и названия глав и параграфов. Названия параграфов приводятся на нечетных страницах, а названия глав — на четных. Кроме того, в конце пособия приводится алфавитный указатель, по которому можно легко найти определение понятия или биографию ученого.
Знаком ? обозначается начало доказательства теоремы, а знаком ¦ — ее окончание; знаком V — начало примера, знаком А — окончание решения.
Пользуясь возможностью, автор искренне благодарит всех, кто своими советами способствовал улучшению этой книги. Особо признателен рецензенту профессору В. А. Треногину, а также своему коллеге Р. А. Башмакову, замечания и пожелания которых были наиболее полезными.
Введение
Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах; термин «математика» происходит от греческого слова «матема», означающего «знание», «наука».
Математика возникла в глубокой древности из практических потребностей людей. Сначала появилась необходимость в подсчете запасов пищи, пройденного времени, затем понадобилось рассчитывать площади обрабатываемых земель. С появлением цивилизации появились приемы проектирования и расчетов возводимых сооружений. Математические знания помогли древним создать и сохранившееся до наших дней одно из Семи чудес Света — знаменитые египетские пирамиды.
С древних времен математика используется и в создании орудий и техники. Крепость Сиракузы долго оборонялась благодаря изобретениям великого математика и механика Архимеда. Сегодня без математики немыслимо не только создание оружия, но и запуски космических аппаратов и моделирование новейшей техники.
Понятия математики отвлечены от конкретных явлений и предметов. Это обстоятельство чрезвычайно существенно для приложений математики. Число 3 не связано неразрывно с каким-либо определенным содержанием. Оно может относиться и к трем планетам, и к трем рублям, и к трем социальным группам. Точно так же методы, изложенные в этой книге, применимы и в физике, и в экономике, и в социологии. Они помогают предсказывать и затмения, и инфляцию, и рост населения.
Математика является не только мощным средством решения прикладных задач, но и универсальным языком науки, а также неотъемлемой частью мировоззрения. Книга «Начала» Евклида, заложившая фундамент классической геометрии, сильно влияла на представления об устройстве нашего мира. А открытие неевклидовой геометрии и теории относительности сразу перевернуло наши представления о нем. Не случайно Эйнштейн подчеркивал важность математики в постижении природы. Он писал: «Весь
12
Введение
предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов».
Изучение законов общества и экономики также невозможно без математики. Подтверждением этого может служить тот факт, что с использованием математических методов связаны работы практически всех экономистов XXв., удостоенных Нобелевской премии по экономике (Л. Канторович, В. Леонтьев, П. Самуэльсон, Р. Солоу, Д. Хикс, Д. Нэш, Р. Зельтен).
В истории математики можно наметить четыре периода.
1. Период зарождения математики как самостоятельной научной дисциплины; начало этого периода теряется в глубине истории; продолжался он приблизительно до V в. до н. э.
2. Период элементарной математики, математики постоянных величин; он продолжался приблизительно до конца XVII в.
3. Период математики переменных величин; характеризуется созданием и развитием математического анализа, изучением процессов в их движении и развитии; продолжался он приблизительно до XIX в.
4. Период современной математики; характеризуется обобщением понятий функции, трехмерного пространства и алгебраических операций и рождением на этой основе новых дисциплин (теории обобщенных функций, функционального анализа, теории групп и т. п.). В XX и XXI вв. новый импульс на развитие математики оказывает также создание и совершенствование компьютеров и вычислительных методов.
Математический анализ развивается на протяжении всех четырех периодов.
Название «математический анализ» — сокращенное видоизменение названия «анализ посредством бесконечно малых». В эту дисциплину входят теория действительного числа, теория пределов, дифференциальное и интегральное исчисление, а также их непосредственные приложения.
В первый и второй периоды математики математический анализ представлял собой совокупность разрозненных частных задач; например, в интегральном исчислении — это задачи на вычисление площадей фигур, объемов тел. Каждая задача или частная группа задач решалась своим методом, подчас сложным и громоздким.
Как отдельная дисциплина математический анализ зародился лишь в XVII в., когда начался новый период в развитии математики — математика переменных величин. Произошло изменение
Введение
13
содержания и характера науки. В математику вошла идея движения, изменения. Рассмотрение переменных величин и связей между ними привело к понятиям функции, производной и интеграла.
математический форум