Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Теория пределов составляет основу математического анализа. Именно с помощью предела принято определять такие важнейшие понятия как производная, дифференциал, ряд, определенный и несобственный интегралы. Поэтому первый раздел книги посвящен теории пределов. Такой порядок изложения в книге связан с современными требованиями математической строгости. Исторически же порядок был как раз обратным. Дифференциальное и интегральное исчисление зародилось в XVII в. и развивалось в XVIII, находя многочисленные и важные приложения; а его база — теория пределов — была разработана французским ученым О. Коши в начале XIX в.
Теория пределов является для студентов сложным и не самым любимым разделом математики. Думается, что во многом это происходит потому, что ее важность не до конца ими осознается. Поэтому в книге мы рассказываем и о том периоде математики, когда анализ существовал без строгого определения предела.
Математики в XVII и XVIII вв. не знали пределов и пользовались отбрасыванием бесконечно малых высокого порядка. Это приводило к верным результатам (например, при вычислении мгновенных скоростей и площадей сложных фигур). Однако это же порождало серьезные споры о законности подобных операций. Критики анализа говорили о том, что его результаты получены «при помощи фокуса», поскольку считали, что математики, предположив сначала бесконечно малое существующим, затем отбрасывают его как вовсе несуществующее. Понятие мгновенной скорости критиковалось, например, и так: «Ньютон говорит о скорости точки в данный момент времени. Но точка есть отсутствие пространства, а момент — отсутствие времени, а там, где нет пространства и времени, нет и движения. О какой скорости идет речь?» Как только не называли мгновенную скорость — и «отношение ничего к ничему», и «действительное произведение из ничего, умноженного на нечто».
Споры возникали и по поводу того, что понимать под «суммой»
1-1 + 1-1 + 1-1 + ...?
Одни утверждали, что «сумма» равна нулю, поскольку (1_1) + (1-1) + ... = 0 + 0 + ...= о,
14
Введение
другие — единице:
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 + 0 + О + ... = 1.
Возник кризис математики. Он был преодолен в начале XIX в. созданием понятия предела. Именно использование предела помогло преодолеть затруднения, существовавшие в математическом анализе. После введения этого понятия были обоснованы операции, используемые в анализе бесконечно малых, стало ясно как понимать «бесконечные суммы» и мгновенную скорость, как обосновать формулы вычисления площадей, получавшиеся «с помощью сомнительных средств — взаимной компенсацией погрешностей».
Поэтому необходимо внимательнее отнестись к замечательному понятию предела — этому спасителю математического анализа, и проследить, как с его помощью удалось устранить недоразумения, разрешить парадоксы, объяснить «фокусы» XVII и XVIII вв.
Для современного математического анализа характерно обобщение известных понятий и появление на их основе новых направлений науки. Обобщение понятия функции породило теорию обобщенных функций. Выяснение общих свойств алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений привело к созданию теории операторов. Появились и другие новые ветви анализа. Они находят все более широкое применение в исследовательских методах экономики и социологии.
В настоящее время происходит также синтез аналитических методов математического анализа и вычислительной математики. В последние десятилетия появились универсальные пакеты символьных вычислений, которые позволяют без знания алгоритмов и программ решать на компьютере сложнейшие численные и аналитические задачи: быстро отыскивать производные и экстремумы сложных функций, строить графики, решать системы уравнений и многое другое.
Произошедшие изменения диктуют необходимость познакомить с некоторыми из пакетов и включить в пособие примеры их использования для вычисления пределов, производных, интегралов и решения других задач математического анализа.
Пакеты составлены различными исследовательскими группами. Например, пакет Maple создан университетом Ватерлоо (штат Онтарио, Канада) и Высшей технической школой (Цюрих, Швейцария), Mathematica — фирмой Wolfram Research, MathCad —
Введение
15
фирмой MathSoft, Inc., MathLab — компанией MathWorks, a Axiom имеет английские корни.
По каждому из пакетов выпущены соответствующие книги, журналы, электронные справочники и компакт-диски. Для подробного ознакомления с пакетами можно использовать также соответствующие WWW-серверы Интернета. Приводим три наиболее популярных пакета и соответствующие адреса серверов:
Maple http: //www.maplesoft.com MathCad http://www.mathsoft.com MathLab http://www.mathworks.com; http://www.softline.ru
Надо хорошо представлять все возможности и недостатки пакета символьных вычислений. При недостаточном ознакомлении с пакетом и методами решения пользователь может сделать неверный вывод. Поэтому в пособии показано как различия в методах влияют на скорость сходимости и круг решаемых задач (см. п. 12.8, в котором рассмотрены различия трех приближенных формул вычисления определенного интеграла).
