Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 10

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 123 >> Следующая

Теорема 1. Если функция у = f(x) строго монотонна на промежутке X, то она обратима на этом промежутке.
? Пусть у = f(x) возрастает на X. Тогда из х\ < х2 следует f(xi) < f{x2)- Таким образом, различным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима. ¦
Наглядную иллюстрацию этой теоремы дает функция у = = х2. Она не является строго монотонной и необратима на своей области определения, но возрастает и обратима на интервале (0,+ос).
Определение 2. Пусть функция у = f(x) обратима на промежутке X и отображает X в Y. Поставим в соответствие каждому у из Y то единственное значение ж, при котором f(x) = у. Тогда получим функцию, которая определена на У, а область ее значений есть X. Эта функция называется обратной для функции / и обозначается
Из теоремы 1 следует, что для любой монотонной на X функции у = f(x) существует обратная функция. Чтобы найти ее, нужно из уравнения у = f(x) выразить х через у.
V Пример 1. Для функции у = х2, если ее областью определения считать всю числовую ось, нет однозначно определенной обратной функции. Причина заключается в том что, у = 4, например, принимает значение в двух точках х = 2 и х = —2, поэтому в точке у = 4 обратную функцию нельзя определить однозначно. Для ветви функции у = х2, определенной в интервале (0, оо), обратной функцией является у = л/х . Для функции у = х2, рассматриваемой на полупрямой (—оо, 0], обратной является функция у = —л/х. А
V Пример 2. Для определения однозначной «ветви» функции, обратной функции у = sin ж, выберем один из интервалов монотонности синуса. Обычно принято рассматривать интер-
в котором обратной для у = sin х является функ-
вал
7Г 7Г
ция у = arcsin х.
1.5. Обратная функция
29
Аналогичным образом можно определить однозначные «ветви» функций, обратных функциям у = cos ж, у = tg ж, у = ctg х. А
Построение графика обратной функции
у
График обратной функции получается из графика самой функции зеркальным отражением относительно прямой у = х. Это основано на том, что зеркальным отражением точки (а, Ь) относительно прямой у = х является точка (6, а).
Рис. 1.4
Весь анализ бесконечных вращается вокруг переменных величин и их функций.
Л. Эйлер
Глава 2 Элементарные функции
2.1. Основные элементарные функции
Прежде чем ввести необходимые определения отметим, что функции, называемые элементарными, были первыми функциями, которые подверглись математиками наиболее детальному изучению и начали широко использоваться в приложениях математики. Их особая роль в математическом анализе объясняется тем, что они обладают рядом важных свойств. Забегая вперед приведем два наиболее важных из них: 1) всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения; 2) производная от элементарной функции есть также элементарная функция.
К основным элементарным функциям относят пять классов функций:
1) степенные у = ха (а — действительное число);
2) показательные у = ах, а ф 1, а > 0;
3) логарифмические у = \ogax, а ф 1, а > 0;
4) тригонометрические: у = sin ж, у = cos ж, у = tg ж, у= ctg х;
5) обратные тригонометрические: у = arcsinx, у = arccosx, у = arctgx, у = arcctgx.
Приведем в качестве справочного материала их свойства и графики.
2.1. Основные элементарные функции
31
1) степенные функции:
1. у = х°:
1) D(/) = (-oo, 0)U(0, +оо);
2) E(f) = {1};
3) четная: (—ж) = ж ;
4) постоянна на (—оо, 0) U (0, +оо);
5) ограниченная;
6) непериодическая.
2. у = х:
1) ?>(/) = (-оо, +оо);
2) E(f) = (-оо, +оо);
3) нечетная: (—ж)1 = —ж1;
4) возрастает на (—оо, +оо);
5) неограниченная;
6) непериодическая.
Рис. 2.1
Рис. 2.2
3. у = хп,
п — нечетное натуральное число ^ 3:
1) D(f) = (-оо, +оо);
2) E(f) = (-оо, +оо);
3) нечетная: (—х)п = —хп\
4) возрастает на (—оо, +оо);
5) неограниченная;
6) непериодическая.
1 х
Рис. 2.3
32
Гл. 2. Элементарные функции
Рис. 2.6
4. у = хп,
п — четное натуральное число:
l)D(/) = (-oo, +оо);
2) E(f) = [О, +оо);
3) четная: (—х)п = хп\
4) убывает на (—оо, 0), возрастает на [0, +оо);
5) неограниченная;
6) непериодическая.
5. у = х п,
п — нечетное натуральное число:
1) !>(/) = (-оо, 0)U(0, +оо);
2) E(f) = (-(X), 0)_U (0, +оо);
3) нечетная: (—х) п = —х п;
4) убывает на (—оо, 0) U (0, +оо);
5) неограниченная;
6) непериодическая.
6. у = х~п, п — четное натуральное число:
l)D(/) = (-oo, 0)11(0, +оо);
2) ?7(/) = (-оо, 0)U(0, +оо);
3) четная: (-х) п = х п\
4) возрастает на (—оо, 0), убывает на (0, +оо);
5) неограниченная;
6) непериодическая.
2.1. Основные элементарные функции
33
7. у = q/i, п — нечетное натуральное число:
1) ?>(/) = (-оо, +оо);
2) E(f) = (-оо, +оо);
3) нечетная: Ц/—х = — \[х\
4) возрастает на (—оо, +оо);
5) неограниченная;
6) непериодическая.
Рис. 2.7
8. у=
п — четное натуральное число:
1) ?>(/) = [0, +оо);
2) ?/(/) = [0, +оо);
3) общего вида;
4) возрастает на [0, +оо);
5) неограниченная;
6) непериодическая.
Рис. 2.8
2) показательные функции:
1. у = аж, 0 < а < 1: \
1) ?>(/) = (-оо, +оо); ^sL
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed