Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 13

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 123 >> Следующая

3) ai = —1, а2 = 0, = 1, = 2, а5 = 3.
Графики этих последовательностей изображены на рис. 3.1. А
44
Гл. 3. Предел последовательности
з
2-1
0--1
у
3
2-1
0--1
у
3
2-1-0-
-1-
2/
ж
x
I Т 7 Т Т
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
• • •
Н-Ф-1-1-Ь
1 2 3 4 5
Рис. 3.1. Графики последовательностей
V Пример 2. Пусть в момент времени п цена на товар со-1
ставляет ап = 1 Н— денежных единиц. Определить к какой цене
стремится цена на товар с течением времени.
Решение. С ростом номера п число ап (n-й член последовательности) становится все ближе к 1. Действительно, разность \ап — 1| (расстояние от ап до 1) приближается к нулю:
при п = 1 равна |1 + 1 — 1| = 1;
при п = 2 \ап - 1| = |1 + 1/2 - 1| = 1/2;
при п = 3 |ап — 1| = |1 + 1/3 — 1| = 1/3;
при п = 4 \ап - 1| = |1 + 1/4 - 1| = 1/4;
при а = 10 \ап - 1| = |1 + 0,1 - 1| = 0,1;
при п = 100 |ап - 1| = |1 + 0,01 - 1| = 0,01;
при п = 1000 \ап - 1| = |1 + 0,001 - 1| = 0,001.
Легко заметить, что:
при п > 1 имеем \ап — 1| < 1;
при п > 10 имеем \ап — 1| < 0,1;
при п > 100 имеем \ап — 1| < 0,01;
при п > 1000 имеем \ап — 1| < 0,001.
Таким образом, с течением времени цена на товар падает и приближается к единице. Единицу именуют пределом последовательности изменения цены товара. А
Приведем более точное определение предела.
Определение. Число а называется пределом числовой последовательности {ап}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа е > 0, найдется такое число N (зависящее от ?, N = TV (в)), что для всех членов последовательности с номерами п > N верно неравенство
п
— а < е.
(3.1)
3.1. Понятие сходимости
45
Если это выполняется, то пишут hm ап = а или ап а при
П —> ОО.
Обозначение lim — сокращение от латинского слова limes — «предел» и равнозначного французского слова limite.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае — расходящейся.
Используя логические символы V (вместо фразы «для любого»), 3 (вместо слова «найдется») и символ равносильности определение предела можно записать в виде
(а = lim ап) О (Ve > О 3N Vn > N \ап - а\ < е).
Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших п члены последовательности {ап} как угодно мало отличаются от числа а (по абсолютной величине меньше, чем на число ?, каким бы малым оно ни было).
V Пример 3. Пусть ап = 1 + —. Доказать, что lim ап = 1.
Решение. С ростом номера п число ап (n-й член последовательности) становится все ближе к 1. Действительно, разность \ап — 1| (расстояние от ап до 1) приближается к нулю. Более
строго, для любого е > 0 выберем число N равным -. Отсюда
1 1 1 6
для любого п > N = - имеем: а > - или — < е. Но \ап — 11 =
I I ? е п
= 11 Ч---II = —. Поэтому \ап — 11 < е. Таким образом,
п п
Ve > О 3N (N = -) Vn > N \ап - 11 < е.
е
Это и означает, что lim ап = 1. А
V Пример 4. Дана последовательность
а\ = 0,3, CL2 = 0,33, аз = 0,333, ... .
Доказать, что lim ап = \.
Решение. Общий член последовательности ап неограниченно приближается к -. Действительно, разность ап — - последовательно равна
46
Гл. 3. Предел последовательности
т. е.
_ 1 _ _ 1
ап~ з ""гГйР
Неограниченность приближения ап к ^ выражается в том,
_^ о
что абсолютная величина разности ап--, начиная с некоторого
о
номера остается меньше любого (заранее заданного) положительного числа е. Так, если задать е = 0,01, то N можно выбрать равным единице, поскольку начиная со второго номера (п > N), абсолютная величина остается меньше 0,01. Если задать е =
= 0,005 ^= •> то по-прежнему можно считать, что N = 1.
Если е = 0,001, то N = 2; если е = 0,00001, то N = 4 и т. д. А
V Пример 5. Показать, что число 2 является пределом по-
(-1)п
следовательности \ап}. где ап = 2 Н--.
п
Решение. |ап — 21 = —, а величина —, начиная с некоторого п п
номера, остается меньшей любого заранее данного положительного числа г (если е = 2, то начиная с первого номера; если е = 0,02, то с 51-го и т. д.). А
Пример 5 показывает, что члены последовательности могут быть то больше, то меньше предела. Они могут и равняться пределу (см. следующий пример).
V Пример 6. Показать, что последовательность 0, 1, 0, ^, 0,
1 1 1 (-1Г
общий член которой выражается формулой ап = —|--,
3 п п
имеет предел b = 0. А
Решение. Величина \ап — 0| =
1 + (-1)"
п п
начиная с неко-
торого номера, остается меньше любого сколь угодно малого по-
/ 1
ложительного числа е (если е = -, то начиная с седьмого номера;
о
если е = 0,01, то с 201-го и т. д.). А
V Пример 7. Показать, что последовательность ап = (—1)п не имеет предела.
Решение. Члены последовательности а± = — 1, a<z = 1,
3.2. Существование предела
47
аз = — 1, а4 = 1 и т. д. не стремятся ни к какому числу. Действительно, какое бы число мы ни предложили в качестве предела а при е < 0,5 неравенство \ап — а\ < е, определяющее предел последовательности, не удовлетворяется. Вне ^-окрестности этого числа остается бесконечное число элементов ап. к
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed