Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Определения 1 и 2 эквивалентны. Первое определение предела функции основано на понятии числовой последовательности, и его называют определением на языке последовательностей или определением по Гейне. Второе определение носит название определение на языке е-6 или определение по Коши. К достоинству определения 1 можно отнести возможность доказательства того, что функция в точке не имеет предела (пример 3). Недостаток состоит в том, что для доказательства существования предела в точке надо перебирать теоретически бесконечно много последовательностей {хп}. Поэтому нельзя дать строго доказательства
4-2. Бесконечно большая величина
59
существования предела. В этом смысле определение 2 предпочтительнее.
ГЕЙНЕ (Heine) Генрих Эдуард (1821-1881), немецкий математик, чл.-корр. Берлинской Академии наук. Работал в университетах в Бонне и Галле. Основные труды по теории множеств, математической физике.
КОШИ (Cauchy) Огюстен Луи (1789-1857), французский математик, член Парижской Академии наук. Работал инженером в Шербуре, преподавал в Политехнической школе, Колеж де Франс и в Парижском университете (отказывался от должности в университете до тех пор, пока не была отменена присяга в лояльности правительству). Оставил свой след во многих областях математики. Его курсы анализа, основанные на систематическом использовании понятия предела, послужили образцом для большинства курсов позднейшего времени. В них он дал определение понятия непрерывности функции, четкое определение сходящихся рядов, определение интеграла как предела суммы и др.
Пределом постоянной величины b называется сама величина Ь.
Это определение вводится для того, чтобы основные теоремы о пределах были верны во всех случаях без исключения. Оно согласуется с определениями 1 и 2 (величина |6 — 6| = 0 меньше любого положительного числа е).
V Пример 4. Доказать, что lim (2 х + 1) = 3.
ж—>4
Решение. Неравенство |(2 х + 1) — 3| < ? эквивалентно неравенству \2(х — 1)| < ? или \х — 1| < е/2. Таким образом, для любого ? > 0 можно взять 8 = е/2, тогда для всех х таких, что \х — 1| < 8, будет справедливо неравенство \(2х + 1) — 3| = = |2 (х — 1)| < ?. Это и означает, что
lim (2 ж+ 1) = 3. А
4.2. Бесконечно большая величина
Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при х —> а, если абсолютное значение остается большим любого заранее данного положительного числа М, всякий раз как абсолютное значение разности х — а меньше некоторого положительного числа 8 (зависящего от М).
60
Гл. 4- Предел функции и непрерывность
Иногда говорят, что бесконечно большой величиной называется переменная величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает.
V Пример 1. Целочисленная функция у = 5 п + 1 есть бесконечно большая величина, ибо члены последовательности неограниченно возрастают. А
5
V Пример 2. Целочисленная функция у = — есть бесконечно
х
большая величина при х —> 0, ибо по мере приближения к нулю
абсолютное значение величины — неограниченно возрастает. А
х
V Пример 3. Целочисленная функция у = tgx есть бесконечно большая величина при х —> А
4.3. Расширение понятия предела
В этом параграфе будут введены понятия бесконечного и одностороннего предела, которые являются обобщением понятия предела в смысле определений предыдущего параграфа.
1. Бесконечные пределы. Если переменная величина у бесконечно велика, то говорят, что у стремится к бесконечности и пишут
у —> оо или lim у = ос. (4.1)
Если бесконечно большая величина у для достаточно больших значений \у\ является положительной, то говорят, что она стремится к плюс бесконечности. Это обозначают так:
у —» +оо или lim у = +оо.
Если бесконечно большая величина \у\ для достаточно больших значений \у\ является отрицательной, то говорят, что она стремится к минус бесконечности и пишут:
у —)> —оо или Гни у = —оо.
Вместо записи (4.1) для большей выразительности иногда пишут:
у —)> ±оо или lim у = ±оо.
4-3. Расширение понятия предела
61
V Пример 1. Функция у = tgx есть бесконечно большая ичина при х —> конечный предел:
7Г
величина при х —> —. Говорят, что функция у = tgx имеет бес-
lim tg х = оо.
7Г
Чтобы подчеркнуть, что функция tgx при х —> — может принимать как положительные значения ^при х < , так и отрицательные ^при х > ^, пишут:
lim tgx = ±оо. А
V Пример 2. Запись lim — = 0 означает, что когда абсолют-
ам—>-оо х
ное значение х неограниченно возрастает, функция I стремится
x
к нулю. А
Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при х —> оо, если абсолютное значение остается большим любого заранее данного положительного числа М, всякий раз как \х\ больше некоторого положительного числа N (зависящего от М).
Неограниченная функция не обязательно бесконечно большая. Например, функция х sin ж является неограниченной (ее значения могут быть как угодно большими), но не бесконечно большой при х —> оо, так как с ростом х функция все время колеблется, и неравенство \х smx\ > М не может выполняться при всех ж, для которых \х\ > N.
