Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 2. Все элементарные функции непрерывны в областях их определения.
Это определение дает основание сформулировать следующее правило: Если функция f(x) элементарна и точка а принадлежит области определения этой функции, то при вычислении предела функции при х —> а надо вместо х в выражение f(x) подставить а. Полученное число и является пределом функции f(x) в точке х = а :
Если f(x) — элементарна и a Е D(f), то lim f(x) = f(a).
Заметим, что это правило верно лишь для элементарных функций. Непрерывность функции в любой точке области определения не гарантируется для неэлементарных функций. Так, функция у = [х], хотя и определена на всей числовой прямой, разрывна во всех целых точках. Другая неэлементарная функция, определенная на всей числовой прямой — функция Дирихле — имеет разрыв в каждой точке.
Функция называется ограниченной на отрезке [а, 6], если существует такое число М, что для всех х Е [а, Ь] выполняется неравенство |/(ж)| ^ М.
Теорема 3 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 4 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наибольшего значения М.
Заметим, что среди значений, которые принимает функция f(x) в точках незамкнутого промежутка, может не быть наибольшего или наименьшего значения.
4-7. Непрерывность функции
73
Так, в интервале (1, 3) функция у = х не обладает ни наименьшим значением, ни наибольшим (она могла бы принять эти значения на концах ж = 1 и ж = 3, но из открытого промежутка концы исключены).
ВЁЙЕРШТРАСС (Weierstra/З) Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) — немецкий математик. Начал свою деятельность в качестве учителя средней школы. С1856 года профессор Берлинского университета. Вейерштрасс разработал систему логического обоснования математического анализа на основе построенной им теории действительных чисел. Он дал строгое доказательство основных свойств функций, непрерывных на отрезке, построил пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке и получил ряд других результатов. Тенденция к обоснованию математики на основе чисел и требование полной строгости в значительной мере являются результатами влияния Вейерштрасса.
БОЛЬЦАНО (Bolzano) Бернард (1781-1848) — чешский математик, философ, теолог. Занимал кафедру истории религии в Пражском университете. В 1820 году был уволен за вольнодумство и лишен права публичных выступлений, после чего работал в основном в области логики и математики.
Теорема 5 (теорема Больцано—Коши). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и и на концах этого отрезка принимает неравные значения
f(a) = A и f{b) = B.
Тогда, каково бы ни было число С, лежащее между А и В, найдется такая точка с между а и 6, что
№ = с.
Справедливость теоремы геометрически очевидна. Поскольку функция непрерывна, график состоит из одного куска. Кривая эта соединяет точки (а, А) и (6, 5), одна из которых лежит ниже прямой у = С, а другая — выше ее. Поэтому кривая где-то должна пересекать прямую у = С. Значит, существует по крайней мере одно с, для которого а < < с < b и /(с) = С.
Рис. 4.2
74
Гл. 4- Предел функции и непрерывность
4.8. Точки разрыва функции
Напомним, если значение функции f(x) стремится к числу Ь\ по мере стремления ж к а со стороны меньших значений, то число Ь\ называют левосторонним пределом функции f(x) в точке х = а и пишут:
lim f(x) = b\ или lim f(x) = b\.
x—Уа —О
ж—Уа х<а
Если f(x) стремится к числу 62 по мере стремления х к а со стороны больших значений, то 62 называют правосторонним пределом функции f(x) в точке х = а и пишут:
lim /(ж) = 62 или lim /(ж) = &2-
ж—>-а+0
ж—>-а х>а
Величина |&2 — &i| называется скачком.
Левосторонний и правосторонний пределы объединяются наименованием «односторонний предел».
Рассмотрим функцию у = /(ж), определенную на интервале X, кроме, быть может, точки а ? X. Точка а называется точкой разрыва данной функции, если в ней функция определена, но не является непрерывной, или не определена в этой точке.
В зависимости от характера поведения функции в окрестности точки разрыва различают два основных видов разрывов:
1. Разрыв I рода — в этом случае существуют конечные пределы
lim f(x) и lim /(ж).
ж—Уа—0 ж—Уа+О
2. Разрыв II рода — в этом случае хотя бы один из пределов
lim f(x) и lim f(x)
х—Уа—0 ж—Уа+0
не существует или бесконечен.
V Пример. Для заданных функций найти точки разрыва и исследовать их характер:
х
б) у = З1/*;
4-8. Точки разрыва функции
75
Решение.
а) Функция определена при всех значениях ж, кроме х = 2. Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения. Таким образом, единственной точкой разрыва служит точка х = 2. Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы функции при х -+ 2 :
х / 2 \ х / 2 \
11111 - = - = —ОО, 11111 - = — = +оо.
жч2-ож-2 \-0; ' ж->2+ож-2 V+0/
