Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
k(t) = а + /3е7*, а > 0, /3>0, 7 > 0,
где значение коэффициентов се, /3, 7 определяется условиями, в которых находится группа лиц, подлежащих изучению, и, прежде всего, социальными условиями.
436 Гл. 21. Применение дифференциальных и разностных уравнений ...
Здесь u(t, у) — величина, характеризующая миграцию. Она равна разности между количеством иммигрантов и эмигрантов. Если u(t,y) > 0, то это означает, что количество иммигрантов в момент времени t превышает количество эмигрантов.
В моделях экономического роста уравнение (21.10) характеризует рост выпуска продукции с учетом внешних инвестиций u(t, у) > 0.
V Пример. Государство решает перечислить в течении двух лет в только созданное предприятие и расширение его производства денежную сумму 20 тыс. условных единиц. При этом оно должно выбрать одну из непрерывных схем финансирования, изображенных на рис. 21.4:
Первая схема. Перечислять каждый год по 10 тыс. у. е.
Вторая схема. Перечислить в первый год все 20 тыс. у. е., и во второй год не перечислять ничего.
(По оси ординат единице соответствует 10 тыс. у. е.)
y'(t) = k(y) y(t) + u(t,y).
(21.10)
и
и
Рис. 21.4. Две схемы инвестирования
Формула Макегама выражает то, что взрослый человек может умереть от причин, не зависящих от возраста, и причин, зависящих от возраста. При этом вероятность смерти растет с увеличением возраста в геометрической прогрессии.
21.8. Рост производства с учетом инвестиций
Уравнение Дж. Кьютелета y(t) = к(у) y(t) исходит из замкнутости популяции и не учитывает миграции популяции, зависящей, вообще говоря, от у и t.
Если изучается население страны, то эта модель становится неприемлемой. Учет миграции приводит к уравнению
21.8. Рост производства с учетом инвестиций
437
Какую из двух схем инвестирования должно выбрать государство, чтобы предприятие выпустило больший объем продукции?
Решение. Предприятие начинает с нуля и еще не в состоянии делать инвестиции. Поэтому считаем, что у(0) = 0. Государство вкладывает в каждый момент времени t сумму в u(t) денежных единиц. Поскольку в нашей упрощенной модели предполагается, что с момента создания первые же денежные инвестиции позволяют выпускать предприятию свою продукцию, то количество выпущенной продукции y(t) в денежном эквиваленте выражается уравнением
*/'(*) = «(*), 2/(0) =0. (21.11)
1. Для первой схемы инвестирования имеем
u(t) = 1, при 0 < t < 2,
т. е.
y'(t) = 1, у(0) = 0,
откуда
y(t) = t, при 0 < t < 2.
Объем Yi, выпущенной продукции за два года равен площади фигуры под графиком функции y(t). Площадь этой фигуры, представляющей собой треугольник (рис. 21.5), равна 2:
Yi = 0,5-2-2 = 2 (20 тыс. у. е.).
2. Для второй схемы инвестирования имеем:
u(t) = 2, при 0 < t < 1, u(t) = 0, при 1 < t < 2,
т. е.
y'(t) = 2, у(0) = 0, при 0 < * < 1, y'(t) = 0 при 1 < t < 2,
откуда
y(t) = 2t, при 0 < t < 1,
y(t) = 2, при 1 < t < 2.
438 Гл. 21. Применение дифференциальных и разностных уравнений
У
У
2-
2-
1-
О
1 2
О
1
2
Рис. 21.5. Объем выпущенной продукции по двум схемам инвестирова-
Объем >2 продукции, выпущенной за два года по второй схеме инвестирования, равен площади трапеции (рис. 21.5). Стало быть, >2 = 3 (30 тыс. у. е.).
По второй схеме инвестирования предприятие выпустит продукции на общую сумму на 10 тыс. у. е. больше. Таким образом, вторая схема инвестирования выгоднее. А
Пример показывает, что предприятия в период становления нуждаются в поддержке государства больше, чем в более поздний период.
Задача 1. Государство решает перечислить в течении двух лет в только созданное предприятие и расширение его производства денежную сумму в 10 условных единиц. При этом оно должно выбрать одну из непрерывных схем финансирования:
Какую из двух схем инвестирования должно выбрать государство, чтобы предприятие выпустило больший объем продукции?
Ответ: вторую.
Объединим две последние модели — модель выбытия фондов и модель роста производства с учетом банковских инвестиций. Пусть предприятие производит нужную для государства продукцию. Как и в модели выбытия фондов, будем предполагать, что на предприятии происходит быстрое изнашивание оборудования и орудий труда и само предприятие не вкладывает вырученные деньги в производство [к = —k(t)). Денежные вложения в производство осуществляет лишь банк. Причем, в момент времени t поток капиталовложений составляет u(t) условных единиц и мгновенно преобразуется в расширение производства.
ния
u(t) = 51 или u(t) = 10 — 51.
21.8. Рост производства с учетом инвестиций
439
Тогда стоимость продукции y(t) на некотором предприятии, произведенной в момент времени ?, описывается уравнением
y'(t) + k(t)y(t) = u(t). (21.12)
Дифференциальное уравнение (21.12) является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Знание его экономического смысла позволяет часто предугадывать свойства решения только по виду уравнения. Действительно, например, пусть задано линейное дифференциальное уравнение
У1 -У = ех,
