Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 116

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 123 >> Следующая

или
У = У + ех.
Коэффициент при у является коэффициентом выбытия фондов. Он равен (—1). Следовательно, фонды не выбывают, а растут. Государственные капиталовложения в предприятие положительны (функция ех > 0). Здравый смысл подсказывает, что при таких условиях должен происходить рост производства. Поэтому, не решая самого дифференциального уравнения, мы можем сказать, что его решением является растущая функция. Так оно и есть на самом деле. После соответствующих математических выкладок получим, что решением этого дифференциального уравнения является
у[х) = С ех + хех
(растущая функция).
Аналогичный вывод мы можем сделать и для линейного дифференциального уравнения
У -~г—^У = х-1 + х
Коэффициент выбытия фондов у — j-j-—^J отрицателен, значит
фонды прибывают. Инвестиции х растут. Следовательно, должен происходить рост производства. Решением уравнения должна быть растущая функция. После соответствующего решения действительно получим растущую функцию
у(х) = (Vl + х2 + С) л/l + х2
440 Гл. 21. Применение дифференциальных и разностных уравнений
Слагаемое и в уравнении
y\t) = -ky(t) + u,
выражавшее поток «внешних капиталовложений», может означать и другие внешние воздействия на предприятие. Слагаемое и может быть и отрицательным. В этом случае оно может выражать, например, какой-либо уход денег из предприятия (например, расходы или выплаты по налогам, издержки производства, потребительские расходы и т. п.). Поскольку издержки часто зависят не только от времени ?, но и от объема выпуска продукции y(t) в момент времени ?, то и является, вообще говоря, функцией от двух переменных t и у. Коэффициент как мы видели, также может зависеть и от переменной t и от переменной у. Таким образом, более общее уравнение роста может быть выражено более общим, вообще говоря, уже нелинейным, дифференциальным уравнением
y'(t) = k(t,y)y(t) + u(t,y). (21.13)
В частных случаях это уравнение может оказаться и уравнением с разделяющимися переменными, и линейным уравнением, и уравнением Бернулли. Знание его экономического смысла позволяет предугадывать свойства решения.
Если в микроэкономике наиболее употребимым линейным дифференциальным уравнением является уравнение (21.12), то в макроэкономике используется уравнение
y(t) = kd-^ + c{t).
(21.14)
Здесь t выражает время; y(t) — национальный доход; c(t) — потребление (более точно, непроизводственное потребление, прирост материальных оборотных средств, государственных матери-
\ I dy(t)
альных резервов, потери); к ——— — накопление основных производственных фондов.
Уравнение (21.14) характеризует тот факт, что национальный
. dy(t) ,
доход разделен на две части: накопление к ^ (первое слагаемое в правой части уравнения) и потребление c(t) (второе слагаемое в правой части уравнения), причем накопление производится государством пропорционально приросту национального дохода
21.9. Модель экономического цикла Самуэльсона-Хикса
441
в тот же момент времени. Коэффициент к выражает капиталоемкость национального дохода (отношение производственного накопления к приросту национального дохода).
Модель, основанная на уравнении (21.14), является простейшей моделью экономической динамики. С помощью нее находят динамику национального дохода y(i) в зависимости от траектории потребления c(t).
Задача 2. Не интегрируя дифференциальное уравнение у'-^ = х, х>1, 2/(1) = 1,
зная лишь экономический смысл коэффициентов (коэффициент
3
выбытия фондов равен--, инвестиции равны ж), определить
X
возрастает или убывает функция, задающая решение. Ответ: возрастает.
Задача 3. Проинтегрировать уравнение из предыдущей задачи.
Ответ: у = 2 х3 — х2.
Задача 4. Решить задачу Коши
2/'-^ = 1, х>1, 2/(1) = 1-
Придать этой задаче несколько социальных и экономических интерпретаций, пояснить полученное решение.
Задача 5. Придать уравнению Бернулли
yf + l = -Xy2
экономический смысл. Проинтегрировать его и объяснить экономический смысл решения.
Ответ: у = 9 -. Решение — убывающая функция, так
х + Сх
как происходит выбытие фондов и капитала.
21.9. Модель экономического цикла Самуэльсона—Хикса
При рассмотрении применений дифференциальных уравнений мы исходили из предположения о мгновенном воздействии факторов, влияющих на рост. В действительности,
442 Гл. 21. Применение дифференциальных и разностных уравнений
это воздействие не мгновенно. Оно происходит с некоторым запаздыванием. В тех случаях, когда запаздывание оказывает существенное влияние на рассматриваемые процессы, его необходимо включать в соответствующее дифференциальное уравнение. В социально-экономических науках в целях простоты модели, связанные с запаздыванием, записывают уже не в виде дифференциальных, а в виде разностных уравнений, то есть в виде уравнений с дискретным временем.
САМУЭЛЬСОН (Samuelson) Пол (р. 1915), американский экономист. Труды по проблемам моделирования экономического цикла, экономико-математическим методам измерения полезности и др. Лауреат Нобелевской премии (1970).
ХИКС (Hicks) Джон (1904-1989), английский экономист. Труды в области моделирования экономического роста, теории спроса, цен. Лауреат Нобелевской премии (1972).
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed