Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
21.6. Рост в социально-экономической сфере с учетом насыщения 433
В п. 21.5 была описана модель Харрода-Домара, согласно которому экономика имеет устойчивый темп роста. В реальности происходит замедление темпов экономического роста. Так, если период с 1948 по 1973 г. был периодом быстрого экономического роста США, при этом ежегодные темпы производительности труда, например, составляли 2,43 %, то с 1973 по 1983 г. производительность труда увеличивалась только на 0,75 % в год. Поэтому логистический рост более точно описывает развитие экономики, чем модель Харрода-Домара.
V Пример 3 (обеспеченность новым товаром). Найти закон обеспеченности новым необходимым товаром (удельный вес семей или людей, владеющих данным товаром) с течением времени.
Решение. Спрос на необходимые товары с течением времени возрастает: сначала медленно, затем быстро и, наконец, снова замедляется за счет насыщения. Это значит, что скорость увеличения спроса прямо пропорциональна обеспеченности и насыщению товаром. Если b — насыщенность товаром (предельное значение обеспеченности товаром), то зависимость обеспеченности от времени выражается дифференциальным уравнением
^ = ky(b-y), (21.8)
т. е. скорость увеличения обеспеченности ^ пропорциональна
достигнутой обеспеченности у и необеспеченности (Ь — у).
Легко заметить, что уравнение (21.8) является уравнением Ферхюльста, записанным в другой форме. А
V Пример 4 (модель «социальной диффузии»). Определить как с течением времени меняется число сторонников некоторого новшества.
Решение. Рынок информации, так же как и рынок товаров, подвержен насыщению. Поэтому число сторонников новшества изменяется согласно закону Ферхюльста. В определенный момент времени наступает насыщение и эффективность от рекламы и агитации снижается. Количество сторонников некоторого новшества с течением времени стремится к постоянному числу. А
В социальных науках уравнение Ферхюльста используется для описания распространения в определенных социальных группах образцов поведения, моды, информации (рекламы),
434 Гл. 21. Применение дифференциальных и разностных уравнений
культурных новшеств. Правда, при изучении социальных групп, это уравнение чаще именуют уравнением Дж. Коулмена, который применительно к социальным группам уточнил смысл коэффициентов а и b из уравнения Ферхюльста. Он предложил следующее уравнение:
где у — число сторонников новшества в данный момент времени; b — общая численность рассматриваемой группы; /3 — число контактов, завязываемых каждым сторонником новшества в единицу времени; ф — коэффициент, меняющийся от 0 до 1 и отражающий то, что не каждый контакт сторонника с не сторонником предполагает агитирование последнего, а также то, что не каждая агитация заканчивается успехом.
Отметим, что эмпирические исследования 1) подтверждают, что распространение сторонников новшеств изменяется согласно уравнению Ферхюльста (Коулмена).
21.7. Выбытие фондов
Рассмотрим теперь еще одну математическую модель, описывающую рост количества продукции y(t) на некотором предприятии, произведенной в момент времени t. В отличие от модели естественного роста, когда к = const, и в отличие от модели Дж. Кьютелета (21.5), когда к = к(у), будем предполагать, что коэффициент к зависит от времени t: к = —k(t). (Знак «минус» означает, что фонды не увеличиваются, а выбывают.) Такое происходит, например, когда предприятие не вкладывает вырученные деньги в производство, и при этом с течением времени на предприятии происходит изнашивание оборудования и орудий труда, т. е. происходит выбытие фондов.
Тогда рост количества продукции y(t) на некотором предприятии, произведенной в момент времени t описывается не уравнением (21.6), а уравнением
Рассмотрим два случая. Первый, когда k(t) = О, и второй, когда k(t) = 1.
y'(t) = -k(t)y(t),
У(0) = Уо-
(21.9)
г) См., например, Coleman J. S. Introduction to mathematical sociology. N. Y. Free Press of Glencoe, 1964.
21.7. Выбытие фондов
435
1. Пусть фонды в указанный промежуток времени не выбывают (k(t) = 0). Здравый смысл подсказывает, что ввиду-отсутствия капиталовложений производство расти не будет, а ввиду отсутствия выбытия фондов оно не должно убывать. Таким образом, объем производства должен остаться на прежнем уровне. Так и происходит согласно дифференциальному уравнению y'(t) = 0. Решением этого уравнения является произвольная константа y(t) = С. Так как у(0) = уо-, то у(х) = уо (рис. 21.3).
Рис. 21.3. Графики функций y(t) = С и y(t) = уо е 1
2. При постоянном выбытии фондов (например, при k(t) = 1) должно происходить падение производства. Решение соответствующего дифференциального уравнения дает именно это:
у = -<**; lnM = -t + ln|C|;
y(t) = уо е~г (убывающая функция).
Соответствующий график приведен на рис. 21.3.
В социальных науках и страховом деле уравнением (21.9) пользуются для определения вероятности того, что лицо доживет до возраста t. Решением уравнения (21.9) при учете начального условия у(0) = 1 будет функция
t
-$k(t)dz
y(t) = e 0
При составлении таблиц смертности для взрослого населения нередко пользуются формулой Макегама, согласно которой
