Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
или
Р Z = к Z.
Полученное уравнение — это уравнение на собственные векторы квадратной матрицы. Использование единичной матрицы Е дает уравнение на собственные числа квадратной матрицы
det(P- кЕ) = 0,
которое называется характеристическим уравнением.
Если все п корней kj характеристического уравнения различны и Zj — соответствующие вектора матрицы Р, то общее решение системы (19.7) имеет вид
Y = J2CjZjek^,
г=0
где j = 1, 2, ... , п.
V Пример 1. Найти общее решение однородной автономной системы
dy2 dx
= %yi + У2-
Решение. Решаем характеристическое уравнение
1 - к 2
det(P-kE) =
1 - к
= 0;
(1-&)2-4 = 0; &i = -l, к2 = 3. Общее решение имеет вид
Y = d Zie-x + C2Z2 е3х. Для определения собственного вектора
Zi =
*12.
соответствующего собственному значению к\ = —1, решаем систему
PZx = kx Zi,
19.2. Система линейных дифференциальных уравнений ... 409
которую можно записать так:
Отсюда или
/2(^11 + ^i2)\ = \2(2Г11 + z12)J
Так как определитель этой системы равен нулю, то система имеет бесчисленное множество решений. В данном случае можно выбрать zu = 1, a Z12 = — 1, т. е. можно считать, что
Zi =
Для определения собственного вектора
соответствующего собственному значению к\ = 3, решаем систему
PZi = fciZi,
которую можно записать так:
<*<'-*»*>=С Г Д) (?)=•¦
Отсюда
/2(-z2i + *22)\
^2(^21-^22); и-
Так как определитель этой системы равен нулю, система имеет бесчисленное множество решений. В данном случае можно выбрать zu = 1, a z±2 = 1, т. е. можно считать, что
410
Гл. 19. Системы дифференциальных уравнений
Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид
Ч:;Н(-')™2СЬ
это означает, что
У1 = С1е~х + С2е3х, у2 = -С1е-х + С2е3х. ^
Последняя однородная система может быть решена и другим способом — приведением к однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами.
V Пример 2. Найти общее решение однородной автономной системы
приведением к дифференциальному уравнению второго порядка.
Решение. Продифференцируем обе части первого уравнения по переменной х:
d2yi _ dyi dy2 dx2 dx dx
Заменим в полученном уравнении правой частью второго уравнения системы:
d2yi dyx ( .
или
d2yi = dyi dx2 dx
Из первого уравнения системы находим у2:
+ 4У1 + 2у2. (19.8)
1 dVi 1 (ла а\
У2=2^~2У1- (19-9)
Подставим в (19.8) вместо у2 в правую часть (19.9), получим d2yi dyi fl dyi 1
19.2. Система линейных дифференциальных уравнений ... 411
откуда
d2Vi о dyi_ dx
2 -2-^-3У1 = 0.
ах
Это обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение. Так как характеристическое уравнение
k2-2k-3 = 0
имеет корни
= -1- &2 = 3,
то
уг = Cie~x + С2е
Зх
Найдем ^р- и подставим в (19.9). Получим
^1 = ± (Cle-X + С2еЪх) = -С1е~х + 3 С2еЪх-
(19.10)
1 dyi 1
= I {-Cie~x + 3 C2e3x) - ± (Cie-X + С2е3ж) =
= -Cie~x + C2e3x.
Отсюда и из (19.10), получаем
Методом приведения к одному линейному дифференциальному уравнению можно решать и неоднородные системы.
V Пример 3. Найти общее решение неоднородной линейной системы
^± = -8у1 + Зу2 + 5е-х,
dy2 dx
= -18у1 + 7у2 + 12е-
приведением к дифференциальному уравнению второго порядка.
412
Гл. 19. Системы дифференциальных уравнений
Решение. Продифференцируем обе части первого уравнения по переменной х.
d2yi = g rig/i 3 rig/2 5с_ж rix2 rix rix
о d2/2
Заменим в полученном уравнении -j— правой частью второго уравнения системы:
= "8 ^ + 3 (-18 yi + 7 j,2 + 12 е~х) - 5 е"*,
или
^- = -8-^--54У1 + 21у2 + 31е ж. (19.11)
Из первого уравнения системы находим у2'-
» = |(^+8»-"-)- <1912>
Подставим в (19.11) вместо у2 в правую часть (19.12) и, приведя подобные члены, получим уравнение
Решаем вначале однородное дифференциальное уравнение
d2yi + dyi_ _ 2 = Q rix2 da;
Так как характеристическое уравнение
А;2 + к - 2 = О
имеет корни
&1 = -2, &2 = 1,
то
У1 оДи = С1е-2х + С2ех.
Пусть yi = А е~х; тогда yi' = — Л е~ж и щ" = А е~х. Подставив эти значения в (19.13), находим Л = 2 и, следовательно,
УГ=2е-*.
Тогда
У1 = У1 од„ + Ш = Сг е~2х + С2ех + 2 е~х. (19.14)
19.3. Решение систем дифференциальных уравнений
413
Чтобы найти г/2, продифференцируем обе части последнего равенства:
dyi
dx
1- = -2С1е~2х + С2ех -2е~х.
Найденное выражение для подставим в (19.12). Получим
У2 = 2С1е~2х + ЗС2ех + 3е"ж. Отсюда и из (19.14), получаем
Задача. Решить систему уравнений
dy doc d}j2 dx
dyi о .
= 3 yi + 4 y2
двумя способами: 1) с помощью характеристического уравнения; 2) сведением к дифференциальному уравнению второго порядка.
Ответ:
-Г
19.3. Решение систем дифференциальных уравнений с помощью компьютерной математики
Команда dsolve, рассмотренная в гл. 18, позволяет решать также и системы дифференциальных уравнений. Покажем ее использование на конкретных примерах.
V Пример 1. Найти с помощью пакета Maple решение однородной линейной системы
dy
414
Гл. 19. Системы дифференциальных уравнений
удовлетворяющее начальным условиям
