Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Однако модель Саймона является в основном иллюстративной и, ввиду неопределенности соответствующих коэффициентов, не дает возможности применить ее на практике. Следующая модель, которую мы рассмотрим, содержит коэффициенты, которые поддаются измерению. Это позволяет использовать ее для прогнозирования.
21.12. Динамическая модель Леонтьева
449
приростной капиталоемкости, т. е. полных затрат производственного накопления на единичные приросты элементов используемого национального дохода.
Система уравнений (21.25) является матричным аналогом дифференциального уравнения (21.14).
Заметим, что матрица К и матрица прямых материальных затрат А связаны уравнением:
где А — матрица коэффициентов прямых материальных затрат (в отличие от коэффициентов статического межотраслевого баланса, коэффициенты динамической модели включают также затраты на возмещение основных производственных фондов); В — матрица коэффициентов капиталоемкости приростов производства (затраты производственного накопления на единицу прироста соответствующих видов продукции); (Е — А)~1 — матрица коэффициентов полных потребностей в выпуске продукции для получения единиц соответствующих видов конечной продукции.
V Пример (динамическая модель Леонтьева) 1) . Рассмотрим народное хозяйство в разрезе двух отраслей. Пусть C(t) = О (экономика замкнута, т. е. все потребляется самими отраслями):
Найти динамику роста национального дохода с учетом отраслевой структуры.
Решение. Вычислим матрицы (Е — А)~1 и К = В(Е — А)~1\
К = В(Е -А)
-1
Решая систему дифференциальных уравнений
находим все элементы решения
(21.26)
ЧСм. [13, с. 127-128].
15 Я. М. Ахтямов
450 Гл. 21. Применение дифференциальных и разностных уравнений
Проанализируем полученное решение. Технологический темп прироста равен 0,275; он соответствует корню Фронебиуса-Пер-рона л = 3,64. Ему соответствует также собственный вектор Y =
= ^q'pj^ ' определяющий структуру вектора У (t). Второе слагаемое в уравнении (21.26) очень быстро стремится к нулю. Поэтому темп прироста национального дохода и его отраслевая структура очень быстро приближаются соответственно к л и У. Уже при t = 30 различия фактических и асимптотических структур становятся меньше 0,001. А
Первая модель В. Леонтьева содержала 44 отрасли, баланс США за 1947 год охватывал примерно 400 отраслей. Современные балансы создаются с помощью быстродействующих компьютеров. Создание таких балансов позволяет прогнозировать тенденции экономического роста и создавать сценарии экономического развития.
ЛЕОНТЬЕВ (Leontief) Василий Васильевич (1906-1999), американский экономист. Родился в России, в Санкт-Петербурге и там же окончил университет. Разработал в 30-х гг. метод экономико-математического анализа «затраты-выпуск» для изучения межотраслевых связей, который широко применяется для прогнозирования и планирования экономики. Лауреат Нобелевской премии (1973).
Так, в 1941-1942 гг. В. Леонтьев опроверг предсказания о том, что послевоенная конверсия промышленности неизбежно приведет к массовой безработице. Вопреки убеждениям о падении спроса на продукцию сталелитейной промышленности США, он доказал (и это подтвердилось): спрос на сталь возрастет благодаря расширению строительства и массовой реконструкции. Этот прогноз был сделан благодаря учету межотраслевых взаимодействий, не улавливаемых, как правило, сторонниками правдоподобных, но упрощенных объяснений процессов, происходящих в экономике.
Заметим, что планирование, основанное на модели межотраслевого баланса не противоречит рыночной экономике. Леонтьев часто использовал сравнение экономики с кораблем: частная инициатива, как ветер в парусах, сообщает экономике свой импульс; планирование же, как руль, направляет экономику в нужную сторону.
Заключение
В 1956 году в статье «Вклад в теорию экономического роста» Р. Солоу предложил математическую модель, выраженную в форме системы дифференциальных уравнений, которая показывает, как возросший основной капитал вызывает рост продукции на душу населения. Основной вывод, вытекающий из анализа решения этой системы, заключается в том, что темпы экономического роста, рассмотренные на протяжении длительного периода времени, не зависят от темпа роста капиталовложений. Определяющими факторами экономического роста являются не капиталовложения, а технический прогресс и эффективное использование ресурсов. Впоследствии этот удивительный вывод был подтвержден при анализе развития экономики. Было дока-7
зано, что - роста американской экономики за период с 1909 по 8 ^
1949 г. следует отнести за счет технического прогресса и лишь - —
8
за счет капиталовложений.
СОЛОУ (Solow) Роберт (р. 1924), — американский экономист. Исследования в области эконометрики, теории экономического роста. Лауреат Нобелевской премии (1987).
Это открытие подчеркивает огромную роль науки, образования, бережного отношения к людям и знаниям. Только благодаря знаниям и эффективному их применению, а не капиталу, можно надеяться на экономический рост и процветание нашей Родины. Эффективное, оптимальное развитие невозможно без использования математики.
