Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
р(') = с
Следовательно, динамика цен носит колебательный характер.
При этом, если — < 1, то (——-) —> 0 (t G N) и p(t) —> р. Последовательность цен сходится к равновесному состоянию.
446 Гл. 21. Применение дифференциальных и разностных уравнений
При т = а значения p(i) чередуются вокруг равновесного значения р.
альности бесконечно возрастающих колебаний не происходит, так как при больших отклонениях от равновесия линейные зависимости спроса и предложения от цены становятся нереалистичными. В более реалистической нелинейной модели устанавливаются колебания большой, но конечной амплитуды.
21.11. Модель социального взаимодействия Саймона
Модель Саймона является формализацией некоторых постулатов теории малых групп Д. Хоманса. Эти постулаты согласно Д. Хомансу таковы:
1. Если деятельность изменяется, то взаимодействие, вообще говоря, также изменяется, и обратно.
2. Лица, которые часто взаимодействуют друг с другом, стремятся любить друг друга.
3. Если взаимодействие между членами группы часто осуществляется во внешней системе, чувство любви между членами растет, и это чувство, в свою очередь, способствует проявлению взаимодействия во внешней системе.
4. Лица, которые имеют чувство любви друг к другу, будут выражать это чувство сверх деятельности внешней системы, и эта деятельность в дальнейшем будет усиливать чувство любви.
5. Чем более часто люди взаимодействуют друг с другом, тем более в некотором отношении они становятся похожими как в своей деятельности, так и в чувствах.
Саймон осуществил «перевод» постулатов Хоманса в следующую математическую модель:
„ а . Если — > 1, то т
V га)
—> оо (равновесие неустойчиво). В ре-
Т = oi Е + а2 W,
(21.20)
(21.21)
tW) + c2(F -W),
(21.22)
где T(t) — интенсивность взаимодействия среди членов группы; I(t) — степень дружелюбия среди членов группы; W(t) — уровень
21.11. Модель социального взаимодействия Саймона 447
деятельности, выполненной группой; F(i) — объем внешненавя-занной деятельности («внешняя система»).
Уравнение (21.20) — алгебраическое (структурное). В этом уравнении Т выражается как функция I и\У. Из этого уравнения вытекают постулаты Хоманса о взаимосвязи между степенью дружелюбия среди членов группы (/), уровнем деятельности, выполненной группой (W) и интенсивностью взаимодействия среди членов группы (Т). Для того чтобы получить постулаты Хоманса о связи этих факторов с объемом внешней деятельности (F), подставим уравнение (21.20) в (21.21). Получим дифференциальное уравнение, которое вместе с уравнением (21.22) образует систему двух дифференциальных уравнений с тремя переменными, две из которых (/ и W) экзогенные (модель должна объяснить их динамику), а одна (F) — эндогенная (она влияет на процесс, но сама не зависит от него). В матричной форме эта система двух уравнений от двух экзогенных переменных запишется в виде
а числовая матрица А = выражена соответствующим об-
разом через семь свободных параметров (ai, a2, ci, с2, 6, /3, т).
Решение этой системы в матричной форме имеет следующий вид:
Саймон исследовал систему (21.23) в условиях устойчивого равновесия (числовым аналогом этого является случай А < 0). Анализ решения (21.24) позволяет заключить, что рост В ведет к росту X и обратно, т. е. увеличение объема деятельности, навязываемой внешней системой, увеличивает степень дружелюбия среди членов группы и внутригрупповую деятельность. Обратно, увеличение степени дружелюбия и внутригрупповой деятельности способствует проявлению взаимодействия во внешней системе.
Другой вывод из модели: если система находится в устойчивом равновесии и внешняя деятельность В стремится к нулю, то X также стремится к нулю. Этот вывод также согласуется
dX(t) dt
= AX(t) + B,
(21.23)
где
X(t) = eAtX(0) + (eAt - E) A~l B.
(21.24)
448 Гл. 21. Применение дифференциальных и разностных уравнений ...
21.12. Динамическая модель Леонтьева
Напомним, что статическая модель межотраслевого баланса В. Леонтьева записывается следующим образом:
X = AX + Y.
Предложенная Леонтьевым динамическая межотраслевая модель является классическим примером использования систем дифференциальных уравнений в исследовании проблем экономического роста. Эта модель, включающая дополнительно матрицу коэффициентов капиталоемкости 5, определяет траектории сбалансированного экономического развития. Качественные свойства этих траекторий зависят от матрицы В (I — Л)-1. При некоторых условиях величина, обратная наибольшему собственному значению матрицы, определяет максимально возможный («технологический») темп прироста экономики, а соответствующий этому значению собственный вектор характеризует необходимые пропорции между объемами производства продукции на «магистральном» (с максимальным темпом прироста) участке экономического развития.
Динамическая модель В. Леонтьева выражается системой дифференциальных уравнений
(21.25)
Здесь Y(t) — вектор-столбец национального дохода, C(t) — вектор-столбец потребления, К — матрица коэффициентов полной
с гипотезой Хоманса, касающейся объяснения социальной интеграции и различия в численности современной и первобытной семьи. Кроме того, модель дает ряд других качественных выводов, отсутствующих в теории Хоманса, и тем самым иллюстрирует преимущества математики в получении выводов из формализованных постулатов.
