Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 112

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 123 >> Следующая

Таким образом, согласно Мальтусу, человечество находится в ловушке — если оно не наладит регулирования рождаемости, то оно обречено на безработицу, голод и обнищание широких масс.
21.3. Рост денежного вклада в Сбербанке
Как было отмечено выше, денежная сумма на денежном вкладе в Сбербанке подчиняется закону естественного роста. Поэтому функция (21.2) может быть использована для приближенной оценки накопившейся в Сбербанке суммы.
V Пример (рост денежного вклада в Сбербанке). В
какую сумму обратилась бы копейка в 2000 году, если бы ее положили в сберегательный банк в первый год нашей эры под 5 % годовых? Предполагается, что денежные реформы не проводятся, а приращение начисляется непрерывно.
Решение. Так как скорость изменения денежного вклада составляет 0,05 от накопившейся суммы, то коэффициент к = = 0,05. Поэтому соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид
y'(*) = 0,05y(t).
Решением является функция y(t) = 1 • е0'05
21.4- Инфляция и правило величины 70
427
При t = 2000 получим у(2000) = 1 • е0'05'2000 = е100 « w 2,688 • 1043 коп. или у(100) w 2,688 • 1041 руб. А
Полученное число содержит 41 цифру. Значит, речь идет о сумме, которая намного превосходит все денежные запасы земного шара.
Этот пример поучителен тем, что позволяет понять одну из причин денежных реформ. Действительно, сберегательные банки во избежание инфляции не должны сильно увеличивать денежную массу государства; долги же сбербанков населению, как мы увидели, очень быстро растут. Поэтому порой и возникает необходимость в проведении денежных реформ.
21.4. Инфляция и правило величины 70
В экономической теории при изучении понятия темпа инфляции приводится так называемое правило величины 70. Оно позволяет быстро подсчитать количество лет ?, необходимых для удвоения уровня цен. Надо только разделить число 70 на ежегодный уровень инфляции р %:
t = 70/р.
Например, при ежегодном уровне инфляции в 5 % уровень цен удвоится через 14 (70/5) лет. При 10 %-й инфляции уровень цен удвоится через семь (70/10) лет. При инфляции в 12 % уровень цен удвоится примерно через шесть (70/12) лет. Правило величины 70 может быть использовано и в случае, когда нужно установить, сколько потребуется времени, чтобы удвоились личные сбережения в Сбербанке.
V Пример (вывод правила величины 70). Вывести правило величины 70 и ответить на вопрос: почему в правиле фигурирует именно число 70, а ни какое-либо другое?
Решение. При ежегодном уровне инфляции в р % коэффициент пропорциональности к будет равен р/100. Поэтому общий уровень цен согласно уравнению естественного роста можно вычислять по формуле
y(t) = у0 exp(pt/100).
428 Гл. 21. Применение дифференциальных и разностных уравнений
При удвоении уровня цен будем иметь:
2!/о = !/(*),
2 уо = уо ехр(р?/100).
Найдем, теперь, количество лет ?, необходимых для удвоения уровня цен. Для этого выразим из последней формулы t. В результате получим
_ 100-In2 Р
Поскольку In 2 « 0,7, можно принять, что
t « 70/р.
Формула получена. В числителе этой формулы стоит 70, так как 100 • In 2 « 70. Если бы речь шла об утроении цен, то в числителе соответствующей формулы стояло бы не 70, а 110, так как в этом случае имели бы
t= (100-1пЗ)/р,
а 100 -1пЗ« ПО. А
Задача. Сумма уо положена в Сбербанк под 10 % годовых. Через сколько лет внесенная сумма возрастет в три раза, если приращение начисляется непрерывно.
Ответ: Через 11 лет.
Заметим, что число денежных единиц всегда выражается целым числом. Поэтому изменение денежной массы является разрывной функцией от времени, и, казалось бы, при выводе правила величины 70 нельзя применить модель, основанную на понятии производной. Но при достаточно большой денежной массе эту разрывную функцию можно с достаточной точностью приблизить дифференцируемой функцией (экспонентой). Сделанная при этом ошибка оказывается малой. Поэтому инфляционные процессы довольно точно описываются уравнением естественного роста.
21.5. Рост выпуска дефицитной продукции
V Пример (модель естественного роста выпуска). Найти закон роста выпуска дефицитной продукции в условиях ненасыщаемости рынка.
21.5. Рост выпуска дефицитной продукции
429
Решение. Обозначим через y(t) количество продукции, произведенной в момент времени t. Будем предполагать, что продукция продается по фиксированной цене р и моментально реализуется. Тогда в момент времени t доход составит py(t). Поскольку предприятие получает прибыль от реализации своей продукции в течении долгого времени, то ему выгодно расширять производство. Пусть на инвестиции i(t) в производство расходуется т-я часть указанного дохода, т. е.
В результате расширения производства будет получен прирост дохода, т-я часть которого опять будет использована для расширения выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпуска, причем скорость выпуска y'(t) пропорциональна увеличению инвестиций, т. е.
Подставив (21.4) в (21.3), получим дифференциальное уравнение естественного роста
Решением его является экспоненциальная функция у = С е , которая показывает как быстро можно добиться огромных объемов выпуска дефицитной продукции, если постоянно направлять часть дохода в расширение производства. А
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed