Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Ы0)=0, у2(0) = 1.
Решение.
>sys:=diff(у(х),х)=у(x)+2*z(x), diff(z(x),x)=2*y(x)+z(x): >Y:={y(x),z(x)}: >dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=l},Y);
{y(x) = \ е3ж " \ e~x, z(x) = \ e~x + ± е3ж J .
Этот результат полностью согласуется с примерами 1 и 2 из п. 19.2. А
V Пример 2. Найти с помощью пакета Maple решение неоднородной линейной системы
^ = -8yi+3?/2 + 5e-*,
^ = -18yi + 7y2 + 12e-*,
удовлетворяющее начальным условиям
3/i(0)=0, у2(0) = 1.
Решение.
>sys:=diff(у(х),х)=-8*у(x)+3*z(x)+5*exp(-x), diff(z(x),x)=-18*y(x)+7*z(x)+12*exp(-x): >Y:={y(x),z(x)}: >dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=l},Y);
[y(x) = 2 ex - 4 e~2x + 2 е"ж, z(x) = -8 e~2x + 6 ex + 3 е"ж} .
Этот результат согласуется с примером 3 из п. 19.2. А
Пакет символьных вычислений позволяет решать и те системы, методы решения которых не излагаются в настоящей книге.
19.3. Решение систем дифференциальных уравнений
415
Приведем пример решения системы дифференциальных уравнений, у которой соответствующее характеристическое уравнение не имеет действительных корней.
V Пример 3. Найти с помощью пакета Maple решение неоднородной линейной системы
= 2уг + у2(х) -Ь cos х,
< dy2 q
—— = -у\ + 3 sin ж,
ах
удовлетворяющее начальным условиям
yi(0) = 2, у2(0) = -4.
Решение.
>sys:=diff(у(х),x)=2*y(x)+z(x)+cos(x), diff(z(x),x)=-y(x)+3*sin(x): >Y:={y(x),z(x)}:
>dsolve({sys,y(0)=2,z(0)=-4},Y); = ex + cos(x), z(x) = —ex — 3 cos(x) — sin(x) j. A
Если ты продашь мне рыбу, я буду сыт весь день; если научишь ее ловить, буду сыт всю жизнь.
Африканская пословица
Глава 20
Разностные уравнения
20.1. Основные понятия
Разностные уравнения играют большую роль в экономической теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений.
Пусть время t выступает как независимая переменная, а зависимая переменная определяется для времени — 1,? — 2ит. д.
Обозначим через yt значение в момент времени t; через yt-i — значение функции в момент, сдвинутый назад на единицу (например, в предыдущем часу, на предыдущей неделе и т.п.); через yt-2 — значение функции у в момент, сдвинутый на две единицы назад, и т. д.
Уравнение
где ао, «i, ..., ап — постоянные, называется разностным неоднородным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнение
в котором f(t) = 0, называется разностным однородным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить разностное уравнение п-го порядка — значит найти функцию yt, которая обращает это уравнение в верное тождество.
Решение, в котором отсутствует произвольная постоянная, называется частным решением разностного уравнения; если же в решении есть произвольная постоянная, то оно называется общим решением.
«О Vt + «1 Vt-1 + CL2 У1-2 + + Ctn yt-n
(20.1)
«о yt + dl yt-i + a>2 yt-2 + ... + an yt-n = 0,
(20.2)
20.1. Основные понятия
417
Можно доказать следующие теоремы.
Теорема 1. Если однородное разностное уравнение (20.2) имеет решения yi(t) и у2(?), то решением будет также функция
где С\ и С2
Уот = Ci yi(t) + C2y2(t), произвольные постоянные.
Теорема 2. Если y(t) — частное решение неоднородного разностного уравнения (20.1) и y(t, Ci, С2, ••• , Сп) — общее решение однородного уравнения (20.2), то общим решением неоднородного уравнения (20.1) будет функция
y(t) = y(t, Си С2, ...,Cn) + y(t),
где Ci, С2, Сп — произвольные постоянные.
Эти теоремы сходны с теоремами для дифференциальных уравнений.
Системой линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами pij называется система вида
Yt = PYt.1 + Fu
где Yt =
(yi(t)\
V2(t)
вектор из неизвестных функций,
Ff =
Ш)
вектор из известных функций,
Р =
/Pll Pl2 Р21 Р22
\Рп1 Рп2
Р1п\ Р2п
Рпп/
есть матрица размера п х п.
Эта система может быть решена сведением к разностному уравнению n-го порядка по аналогии с решением системы дифференциальных уравнений.
14 Я. М. Ахтямов
418
Гл. 20. Разностные уравнения
20.2. Решение разностных уравнений
Решение разностного уравнения первого порядка.
Рассмотрим неоднородное разностное уравнение
yt-ayt-i = f{t). (20.3)
Соответствующее однородное уравнение есть
yt-ayt-! = 0. (20.4)
Проверим, будет ли функция
ytoAu = а1
решением уравнения (20.3). Имеем
Vt-i одн = а*-1. Подставляя в уравнение (20.4), получаем
а1 -аа1~х = а1 - а1 = 0.
Следовательно, yt 0дн — я* есть решение уравнения (20.4). Общее решение уравнения (20.4) есть функция
У t одн — С а1,
где С — произвольная постоянная.
Пусть yt — частное решение неоднородного уравнения (20.3). Тогда общее решение разностного уравнения (20.3) есть функция
yt = ytom + yt = Ca +yt.
Найдем частное решение разностного уравнения (20.3), если f(t) = с, где с — некоторая постоянная.
Будем искать решение в виде постоянной т. Имеем
yt = m, yt-i = т.
Подставив эти постоянные в уравнение
yt ~ ауг_г = с,
получаем
т — am = с,
откуда
20.2. Решение разностных уравнений
419
Следовательно, общее решение разностного уравнения
Уг ~ ayt-i = с
есть
уг = Са* +
с
1 - а
V Пример 1. Найти с помощью разностного уравнения формулу прироста денежного вклада Л в Сбербанке, положенного под р % годовых.
