Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 111

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 123 >> Следующая

Если допустить, что значение величины y(t) меняется в одно и то же число раз не в течение промежутка фиксированной длительности At, а мгновенно, то мы приходим к процессу, при котором скорость изменения величины v(t) в момент времени t пропорциональна значению этой величины в тот же момент времени. Уравнение, описывающее этот процесс, можно записать так:
Так как v(t) = yf(t), то получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
Уравнение (21.1) называют дифференциальным уравнением естественного роста. Впервые его получил Якоб Бернулли. Им же была решена следующая задача.
V Пример (задача о кредитовании). Пусть заимодавец платит кредитору р % процентов от занятой суммы уо за год; сколько он должен уплатить за год на каждую единицу занятой суммы, если проценты нарастают непрерывно?
Решение. Поскольку проценты нарастают непрерывно, то скорость у' (t) изменения величины долга y(t) в момент времени t пропорциональна значению этой величины в тот же момент времени. Следовательно, закон изменения долга описывается дифференциальным уравнением (21.1).
v{t) = ky{t).
y'(t) = ky(t).
(21.1)
424 Гл. 21. Применение дифференциальных и разностных уравнений
Найдем общее решение этого уравнения. Разделяя переменные в уравнении (21.1), имеем
После интегрирования обеих частей находим
ln\y\ = kt + In С,
откуда следует, что общим решением уравнения (21.1) является показательная функция
Поскольку ежегодный прирост величины y(t) составляет р%, то скорость изменения величины составляет р/100 от y(t) и коэффициент к = р/100. Кроме того, по условию задачи у(0) = уо. Поэтому сумма, которую заимодавец должен уплатить кредитору от занятых уо денежных единиц за t лет, составит
От каждой единицы занятой суммы заимодавец обязан уплатить y(t) = ехр(р?/100). А за год эта сумма составит у{1) = = ехр(р/100) денежных единиц. А
Уравнение (21.2) с к = р/100 может быть применено не только при изучении кредитования. Оно применяется всякий раз, когда скорость изменения некоторой величины y(t) прямо пропорциональна ее значению в данный момент времени ?, а ежегодный прирост равен р %.
21.2. Рост населения Земли и истощение ресурсов
Дифференциальное уравнение (21.1) было предложено Мальтусом в 1798 г. для прогнозирования роста населения Земли. Постоянная к в социальных и биологических науках именуется мальтузианским коэффициентом линейного роста.
МАЛЬТУС (Malthus) Томас Роберт (1766-1834), английский экономист, основоположник мальтузинанства, утверждавшего, что темпы роста населения значительно превышают темпы увеличения средств существования (их соотношение, в первоначальной формулировке Мальтуса, выводилось из сравнения геометрической и арифметической прогрессий). В современных условиях проблемы, связанные с быстрым ростом народонаселения в развивающихся странах, служат основанием для периодического оживления модифицированных форм мальтузианства.
y(t) = Ce
kt
y(t) = y0exp(pt/100).
(21.2)
21.2. Рост населения Земли и истощение ресурсов
425
V Пример (истощение ресурсов). В настоящее время для обеспечения пищей одного человека необходима площадь 0,1 га. На земном шаре 4000 млн га пахотной земли. Поэтому население его должно быть, если не учитывать в будущем новых источников пищи, ограничено количеством 40000 млн человек.
Когда будет достигнут этот предел насыщения населения, если оно непрерывно растет со скоростью 1,8 % в год?
Решение. Согласно формуле (21.2), закон роста населения можно выразить следующим образом:
y(t) = yQ ехр(рi/100).
За t = 0 возьмем 1999 год, когда население Земли составило 6 • 109 человек. Тогда
Ищем такое ?, чтобы
y(i) = 6-109e°>018i.
y(t) = 40- 109.
Тогда
40 • 109 = 6 • 109 e0'018*,
откуда
э0,018?
40 • 109 6-109
w 6,667.
Логарифмируя последнее равенство, имеем 0,018t«ln6,667 « 1,897,
откуда t « 105 лет.
Итак, примерно в 2104 г. мир достиг бы предела насыщения, если бы сохранился темп роста населения. А
Решение уравнения (21.1) выражается с помощью экспоненциальной функции ekt, которая очень быстро возрастает. График этой функции представлен на рис. 21.1.
Рис. 21.1. График функции у = С е
к х
426 Гл. 21. Применение дифференциальных и разностных уравнений
Если t растет в арифметической прогрессии, т. е. принимает возрастающую последовательность значений
* = 0, ? = 0 + 1 = 1, 4=1 + 1 = 2, 4 = 2 + 1 = 3,
то соответствующие значения ekt образуют геометрическую прогрессию
1, q, q2, q3,
где q = ек. Поскольку к > 0, имеем q > 1. Откуда следует, что ekt —> +оо при t —> +оо (вспомните восточную легенду о вознаграждении, потребованном изобретателем шахмат).
Из решения этой задачи видно, что согласно модели Мальтуса население Земли растет очень быстро. Говоря о росте населения ученые употребляют термин «демографический взрыв». Этот термин вполне уместен, поскольку рост населения описывается тем же дифференциальным уравнением, что и ядерный взрыв. (Число распадов ядра при цепной реакции растет экспоненциально, столь же быстро растет и выделяемая энергия: y(t) —> +оо при t —» +оо.)
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed