Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Харрод и Домар считали, что можно добиться устойчивого роста не только объемов выпуска дефицитной продукции предприятия, но и также всей мировой рыночной экономики. Харрод считал, что устойчивый темп роста производства обеспечивается естественным ростом населения и естественным ростом производительности труда. Третьим фактором роста Харрод считал размеры накопления капитала, норма накопления которого должна быть постоянной.
ХАРРОД (Harrod) Рой (1900-1978), английский экономист. Сочинения по проблемам экономического роста, теории денег, международной торговли, валютной системы.
(21.3)
y'(t) = ai(t).
(21.4)
y'(t) = ky(t)
k = ap/m.
ДОМАР (Domar) Евсей Дейвид (p. 1914), американский экономист. Сочинения по теории экономического роста.
430 Гл. 21. Применение дифференциальных и разностных уравнений
Мы рассмотрели пять примеров социально-экономических процессов — задачу о долге, рост населения, рост денежных вкладов в банке, инфляционные процессы, естественный рост выпуска продукции. Математической моделью всех этих процессов служит уравнение вида yf(t) = ky(t). В первом случае применение дифференциального уравнения позволяет увидеть как быстро растут невыплачиваемые долги, во втором использование этого уравнения позволяет понять будущие проблемы человечества, связанные с «демографическим взрывом», в третьем — почему возникают денежные реформы, из четвертого примера становится понятным правило величины 70 и инфляционные процессы, из пятого — как быстро можно добиться больших объемов выпуска продукции в условиях постоянных инвестиций в производство и ненасыщаемости рынка.
21.6. Рост в социально-экономической сфере с учетом насыщения
В соответствии с законом Мальтуса (21.1) численность населения должна расти экспоненциально, что не всегда справедливо, ибо не согласуется с реальностью. Хотя имеющий в настоящее время место «демографический взрыв» представляет собой серьезную опасность для человечества, дифференциальное уравнение (21.1), разумеется, слишком упрощенно изображает реальную ситуацию, и его решение далеко от истинного течения процесса. При использовании моделей естественного роста в социальных науках надо иметь в виду, что темпы роста, описываемые первоначально экспоненциальной функцией, в дальнейшем замедляются, наступает период насыщения. Экстраполяция этих показателей при условиях естественного роста часто приводит к заведомому абсурду. Например, рост числа научных работников в индустриально развитых странах в недавнем прошлом описывался экспоненциальной функцией. Экстраполяция привела бы к тому, что уже в ближайшие десятилетия численность научных работников должна была бы превзойти население страны.
Для преодоления противоречия с реальностью необходимо принять во внимание эти факторы и соответствующим образом модифицировать модель роста.
Дж. Кьютелет предположил, что к в уравнении (21.1) должна быть не постоянной, а убывающей функцией, зависящей от y(t):
y'(t) = k(y)y(t). (21.5)
21.6. Рост в социально-экономической сфере с учетом насыщения 431
На основании этого в 1836 г. его ученик Ферхюльст предложил использовать для роста населения уравнение
(21.6)
т. е. считать, что
k(y) = a(l-f-).
V Пример 1 (рост населения Земли с учетом насыщения). Определить как будет меняться рост населения Земли y(t) в условиях насыщения.
Решение. Согласно Ферхюльсту величина y(t) в условиях насыщения удовлетворяет дифференциальному уравнению (21.6). Решим это уравнение. Разделяя переменные в уравнении (21.6), находим
dy
М)
= a dt,
или
+ -г-^— ) dy = a dt.
Проинтегрировав это соотношение, имеем
In \y\-\n\b - у\ = at + In |С|,
т. е.
У =Ceat.
b-y
Отсюда получим, что
(21.7)
Таким образом, рост в условиях насыщения описывается функцией (21.7). А
График функции (21.7) называется логистической кривой. Он изображен на рис. 21.2.
Из этого рисунка хорошо видно, что при малых t логистический рост схож с естественным ростом, однако при больших t
432 Гл. 21. Применение дифференциальных и разностных уравнений
Рис. 21.2. График функции y(t) =
ЬСе
a t
l + CeQ
характер роста меняется, темпы роста замедляются. При t —> +оо кривая асимптотически приближается к прямой у = 6, поскольку
lim y(t) = lim ^С е t^+oc *v J t^+oc 1 + Се
-=(-) = at \ooJ
(ЬСеа1У
= lim
= lim
bCaea
t^+oc (i _|_ Ceat)r t^+oc Cae
a t
= b.
Прямая y(t) = b является стационарным решением уравнения (21.6) и соответствует случаю к (у) = а ^1 — ^~j^J — 0- Значит, для модели (21.6) объем выпускаемой продукции в единицу времени стремится к конечному значению b («взрыва» не происходит) .
Модель Ферхюльста применяется и к другим социально-экономическим явлениям. Рассмотрим ее применение в сфере экономического роста.
V Пример 2 (рост выпуска продукции в условиях конкуренции). Найти закон роста продукции в условиях конкуренции и насыщаемости рынка.
Решение. По условию задачи, происходит насыщаемость рынка. Согласно Ферхюльсту величина y(t) в условиях насыщаемости удовлетворяет дифференциальному уравнению (21.6). Поэтому рост продукции y(t) в условиях насыщаемости рынка будет также описываться уравнением Ферхюльста и соответствующее решение выражаться формулой (21.7). А
