Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Если некоторая сумма уо положена в банк под сложный процент р, то к концу года t ее размер составит
Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решение
где С — некоторая постоянная, которую можно рассчитать по начальным условиям.
Если принять у о = А, то С = Л, откуда
Это известная формула подсчета прироста денежного вклада, положенного в Сбербанк под сложный процент. А
Решение разностного уравнения второго порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение второго порядка
yt+pyt-i + qyt-2 = f(t)
(20.5)
и соответствующее однородное уравнение
Уг +РУ1-1 + ЧУ1-2 = 0.
(20.6)
Если к ф 0 является корнем уравнения
к2 +р к + q = 0,
(20.7)
то функция
У t одн
= к
t
14*
420
Гл. 20. Разностные уравнения
есть решение однородного уравнения (20.6).
Действительно, подставляя к1 в левую часть уравнения (20.6) и учитывая (20.7), получаем
к1 + рк*~1 + qkt~2 = kt-2(k2+pk + q) = 0.
Таким образом, если к — корень уравнения (20.7), то к1 — решение уравнения (20.6).
Уравнение (20.7) называется характеристическим уравнением для уравнения (20.6).
Если дискриминант р2 — 4q характеристического уравнения (20.7) больше нуля, то уравнение (20.7) имеет два разных действительных корня к\ и к2, а общее решение однородного уравнения(20.6) имеет следующий вид:
ytow = Cl к! + С2Ц.
Общее решение неоднородного уравнения (20.5) таково:
Vt = Vt одн + Vt = Ci к[ + С2 к\ + yt,
где yt — частное решение неоднородного уравнения (20.5), а С\ и С2 — произвольные постоянные, которые можно вычислить по начальным условиям, например, у(0) = уо, у(1) = у\.
V Пример 2. Найти решение разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
yt -5yt-i + 6 yt-2 = 7,
удовлетворяющего начальным условиям
Уо = 5, у{ = 9.
Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего однородного разностного уравнения таково:
k2 -5к + 6 = 0.
Корни уравнения к\ = 2, к2 = 3 действительны и различны. Следовательно, общее решение однородного разностного уравнения есть функция
yt = С12* + С23*.
Предположим далее, что yt = c есть частное решение неоднородного уравнения, тогда
с — 5с + 6с = 7,
20.2. Решение разностных уравнений
421
откуда
2с = 7; с=-.
Таким образом, общее решение заданного неоднородного уравнения есть функция
yt = Cl2t + C23t+7-.
Постоянные С\ и С2 определяем по начальным условиям Уо = 5, у\ = 9. Для t = О и t = 1 соответственно получаем
5 = С12° + С23°+7-, 9 = С121 + С231+7-.
Решая систему уравнений
2 Ci + 3 С2 =
11
находим
Сг = -1,
Поэтому в итоге имеем
Со =
Математика — это искусство давать разным вещам одно наименование.
Анри Пуанкаре
Глава 21
Применение аппарата дифференциальных и разностных уравнений в социально-экономической сфере
21.1. Естественный рост и задача Бернулли о кредитовании
В природе и обществе встречаются многочисленные процессы, в ходе которых некоторые величины изменяются по следующему закону: в течение любого промежутка времени фиксированной длительности At значение величины меняется в одно и то же число раз.
Обозначим через m(t) массу колонии бактерий в момент времени t. Если нет ограничений в количестве питательных веществ и объеме сосуда и притом отсутствуют живые существа, поедающие эти бактерии, то за равные промежутки времени масса колонии будет возрастать в одно и то же число раз.
Аналогично обстоят дела в любой совокупности живых существ при условии, что нет ограничений в пище и в пространстве и нет истребляющих их врагов. Растение курослеп трижды в год дает по 15 ООО семян; следовательно от одного растения могло бы произойти более 150003 = 3375 миллиардов растений. Сельдь откладывает 30 ООО икринок, карп — свыше миллиона, треска от 4 до 6 миллионов, солитер — около 42 миллионов, аскарида — приблизительно 64 миллиона. Даже при медленном размножении какого-либо вида животных территория могла бы быть в сравнительно короткое время буквально наводнена им, если бы борьба за существование между видами не ставила предела этому распространению. Если бы это препятствие на какое-то время исчезло, мы наблюдали бы неслыханное размножение животных. Расчеты
21.1. Естественный рост и задача Бернулли о кредитовании
423
показывают, что потомство одной пары мух за два года при беспрепятственном размножении имело бы массу, превосходящую массу Земли. Известны случаи, когда некоторые виды животных и растений, попав в благоприятные условия, размножались столь быстро, что становились бедствием (саранча в Африке, кролики в Австралии, водяной гиацинт в США и т. д.).
Процессы, в которых величина увеличивается за равные промежутки времени в одно и то же число раз, называют процессами естественного роста.
Сумма вклада в Сбербанке за данный промежуток времени возрастает в одно и то же число раз (скажем, за год на 5 %). Эта сумма подчинена закону естественного роста.
При распаде ядер во время цепной реакции образуются нейтроны. Чем больше свободных нейтронов в данном объеме, тем чаще они сталкиваются с ядрами и тем больше новых нейтронов появляется. Процесс увеличения количества свободных нейтронов также представляет собой процесс естественного роста.
