Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Так, модель Самуэльсона-Хикса предполагает, что рост потребления c(t) (consumption) запаздывает от роста национального дохода у, т. е. что
c(t) = my(t-l) + n, (21.15)
где m (marginal) — предельная склонность к потреблению (показывает на сколько увеличится потребление при увеличении текущего дохода на единицу (m = Ac/Ay)), an — автономное потребление.
Предполагается также, что предприниматели осуществляют инвестиции i(t) (investments) после того, как убедятся в том, что приращение национального дохода устойчиво. Поэтому, принимая решение об объеме инвестиций, они ориентируются на приращение национального дохода не в текущем, а предшествующем периоде:
i(t) = a(y{t-\)-y{t-2)). (21.16)
Здесь a (accelerator) — коэффициент, именуемый акселератором. Условие равенства спроса и предложения имеет вид
y(t) = c(t) + i(t). (21.17)
Подставляя в (21.17) выражение для c(t) из (21.15), i(t) из (21.16), находим:
y(t) = {а + т) y{t - 1) - a y(t - 2) + п. (21.18)
21.9. Модель экономического цикла Самуэльсона-Хикса
443
Уравнение (21.18) называется уравнением Хикса. Пусть величины а, т и п постоянны. Тогда уравнение Хикса представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
В реальной экономике т < 1, а а > 1. При таких значениях предельной склонности к потреблению т и акселератора а решение уравнения Хикса неустойчиво и носит колебательный характер: возрастание сменяется убыванием, убывание — возрастанием. Это означает, что даже при постоянном темпе капиталовложений экономика имеет неустойчивый характер (раз нарушенное равновесие больше не восстанавливается), а периоды подъема экономики чередуются с периодами спадов (кризисов).
Поясним это на числовом примере.
V Пример (уравнение Хикса). Предположим, что а = = 1,25, т = 0,95, п = 0,1. Тогда уравнение Хикса примет вид
Найдем частное решение. Положив y(i) = const = С и подставив в (21.19), получим
Частное решение y(t) = 2. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения.
Корни характеристического уравнения
равны 1,1 ± 0,2 г.
Этим корням соответствуют линейно независимые решения вида
у(*)-2,2у(*-1) + 1,25у(*-2) = 0,1.
(21.19)
С-2,2 С+ 1,25 С = 0,1,
С = 2.
А2-2,2 А+ 1,25 = 0
и
где (р = arctg (2/11). После округления получим yi{t) = 1,07* cos(0,18t)
и
y2(t) = 1,07* sin(0,18t).
444 Гл. 21. Применение дифференциальных и разностных уравнений
У
50-
У
-^ьч-Ч-ч—I—I—ь-0-5 \ "35
1-
-201
0
б
а
Рис. 21.6. Модель Самуэльсона-Хикса
Таким образом, общим решением однородного уравнения является функция
где С\ и С2 — произвольные константы. Следовательно, общим решением уравнения (21.19) будет функция
График этой функции при Ci = C2 = 1h?eN изображен на рис. 21.6, а. А
Из последнего примера наглядно видно, что решение уравнения Хикса y(t) очень быстро принимает неправдоподобные значения. В действительности такой сильной раскачки значений национального дохода не происходит. Размер национального дохода не может превышать величину национального дохода полной занятости. Это ограничивает амплитуду колебаний объема национального дохода сверху. С другой стороны, объем инвестирования не может быть меньше отрицательной величины амортизации и это ограничивает амплитуду колебания величины национального дохода снизу. В результате колебания размера национального дохода принимают вид, изображенный на рис. 21.6, б. Они имеют конечную амплитуду и характеризуют экономические циклы подъема и спада производства.
y(t) = 1,07* (Ci cos(0,18?) + C2 sin(0,18t)),
y{t) = 2 + 1,07* (Ci cos(0,18?) + C2 sin(0,18t)).
21.10. Паутинообразная модель рынка
445
21.10. Паутинообразная модель рынка
Опишем еще одну модель, учитывающую запаздывание во времени. Эта модель позволяет исследовать устойчивость цен и объемов товаров на рынке.
Будем предполагать, что производители зерна определяют предложение s (supply) товара в текущем периоде на основе цены р (price), установившейся в предшествующем периоде, а спрос d (demand) на товар изменяется в зависимости от цены в данном периоде. Предположение о запаздывании предложения от цены вполне объяснимо. Действительно, решение об объеме производства принимается с учетом текущих цен, но производственный цикл имеет определенную продолжительность, и соответствующее этому решению предложение появится на рынке по окончании данного цикла.
Если спрос и предложение линейно зависят от р, то динамика цены описывается следующими уравнениями:
s(t) = ap(t - 1) + 6,
d(t) = —mp(t) + п.
Здесь п > b > О, так как при нулевой цене спрос превышает предложение; а > О, так как функция предложения возрастающая; т > О, так как функция спроса убывающая.
Таким образом, если спрос s(t) равен предложению d(t), то получим линейное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:
mp(t) + ap(t — 1) = п — I).
Частным решением этого уравнения является константа
_ п — b
V = —— •
т + а
Решая характеристическое уравнение т Л + а = 0, находим его а
корень Л =--.
т
Общее решение разностного уравнения имеет вид
