Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Определение линейной зависимости и независимости для двух функций у\ и у2 было дано на с. 374. Приведем более общее определение, пригодное для любого конечного числа функций.
Функции у\(ж), у2(х), ..., Уп(х) называют линейно зависимыми в интервале (а, 6), если существуют постоянные числа /ii,
••• 5 Дп5 не все равные нулю, такие, что
п
^2fli yi(x) = О t=l
для любых х Е (а, 6). Если же указанное тождество выполняется только в случае, когда все Hi = О, то функции yi{x) называются линейно независимыми в интервале (а, Ь).
Совокупность п линейно независимых решений
3/1 (ж), у2{х), уп{х)
18.5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
399
уравнения (18.22) называется фундаментальной системой решений. С ее помощью строится общее решение однородного уравнения (18.22). Справедлива следующая
Теорема 1. Если у\{х), у2{х), ..., уп(х) — любая фундаментальная система решений уравнения (18.22), то функция
п
2/одн = С\ г/1 (ж) + С2у2(х) + ... + Сп уп(х) = ^2Ci Vi(x),
t=l
где Ci — произвольные постоянные, является общим решением уравнения (18.22).
Теорема 2 (о структуре общего решения неоднородного уравнения). Общее решение линейного неоднородного уравнения (18.21) имеет вид
У = У от + У,
где г/одн — общее решение соответствующего ему однородного уравнения (18.22), а у — одно из частных решений уравнения (18.21).
В общем случае не существует метода отыскания фундаментальной системы решений и общего решения уравнения (18.21). Только в частном случае, когда в уравнении (18.21) все коэффициенты Pi(x) являются постоянными числами, существует метод нахождения фундаментальной системы решений и общего решения уравнения (18.21). Этот метод, основанный на использовании характеристического уравнения
kn + pi кп~1 + р2 кп~2 + ... + рп-г к + рп = О,
аналогичен методу, изложенному в предыдущем параграфе для дифференциального уравнения второго порядка.
V Пример. Найти общее решение однородного уравнения
у'" -у" + у' -у = х2 + х.
Решение. Находим общее решение однородного уравнения у'" -у" + у'-у = 0. Характеристическое уравнение
ks - к2 + к - 1 = О
400 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
можно переписать так:
(к - 1) (к2 + 1) = 0,
откуда находим действительный корень к = 1 (соответствующий уравнению к — 1 = 0) и числа а = 0, и /3 = 1 (соответствующие уравнению Л;2 + 1 = 0, не имеющему действительных корней). Тогда
Уоди = С\ ех + С2 cos х + Сз sin ж.
В правой части заданного уравнения имеется многочлен второй степени и етх = е°'х = 1. Так как число т = 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение у следует искать в виде многочлена второй степени, т. е.
у = Ах2 + В х + С.
Определим производные у,1у,,иу,,,и подставим в левую часть заданного уравнения:
у' = 2 Ах + В, у" = 2 А, у"' = 0, 0-2А + 2Ах + В- Ах2-Вх-С = х2 + х,
или
-А х2 + (2 А - В) х + (-2 А + В - С) = х2 + х.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, получим систему
'-А = 1, < 2А-В = 1, -2 А + В - С = 0.
Решение этой системы дает: А = — 1, В = —3, С = — 1. Следовательно, частное решение
у = —х2 — 3 х — 1,
а общее решение
у = С\ ех + С2 cos х + Сз sin х — х2 — 3 х — 1. А
Задача 1. Найти частное решение уравнения У'" + У' = е2*, удовлетворяющее условиям:
у(0)=0, у'(0) = 0, у"(0)=0.
18.6. Решение дифференциальных уравнений с помощью пакета Maple 401
18.6. Решение дифференциальных уравнений с помощью пакета Maple
Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений используется команда
>dsolve(eqns,vars,option);
Здесь eqns — дифференциальное уравнение (или система) относительно неизвестных функций vars, a option — дополнительные условия, позволяющие указать метод решения задачи (например, type=numeric — для численного решения).
Если дополнительных условий нет, то Maple пытается найти аналитическое решение задачи, так как по умолчанию принято, что type=exact. При этом решение будет содержать неопределенные константы, изображаемые _С1, _С2, ....
Для задачи Коши в уравнение (уравнения) eqns нужно включить также начальные условия.
V Пример 1. Найти общее решение однородного уравнения
у'" -у" + у' -у = х2 + х.
Решение.
>dsolve(diff(у(х),х$3)-diff(у(х),х$2)+ diff(у(х),х)-у(х)=х~2+х,у(х)); у(х) = -l-3x-x2+ CI cos(x) + _С2 ех + _СЗ
Ответ: у = — - + - cos х — - + — е .
2 5 5 10
Задача 2. Найти частное решение дифференциального уравнения четвертого порядка
уМ-у = &ех, удовлетворяющее условиям:
у(0) = -1, у'(0) = 0, у"(0) = 1, у"'(0) = 0.
Ответ: у = е~х — 3 ех + cos х + 2 sin х + 2 х е2 х.
402 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
То же можно решить также и в два этапа:
>eqn:=diff(у(х),х$3)-diff(у(х),х$2)+
diff(у(х),х)-у(х)=х~2+х:
у(х) = -l-3x-x2+ CI cos(x) + _С2 ех + СЗ
Этот результат совпадает с ответом, полученным в примере п. 18.5. А
V Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения четвертого порядка
У(4)-У' = 8е*,
удовлетворяющее условиям
2/(0)--1, у'(0)=0, 2/"(0) = 1, у"'(0)=0.
Решение. Обозначим заданное дифференциальное уравнение через eqn и решим его:
