Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Подставив г/, у1 и у11 в левую часть неоднородного уравнения (18.13), получим
С[(х) у[(х) + С\(х) у'{(х) + С'2{х) у'2(х)+
+ С2(х) у'Цх) + р d(x) у[(х) + р С2(х) у'2{х)+
+ qCi(x)y1(x) + qC2(x)y2(x) = f(x). Или, группируя члены, получим:
Сг(х) [y'i(x) + py'1(x) + qy1(x)] +
+ С2(х) [y2,{x)+py'2{x) + qy2{x)] +
+ Cl{x)y'l{x) + C,2{x)y,2{x) = f{x).
Так как у\{х) и у2(х) являются решениями однородного уравнения (18.14), то выражения в квадратных скобках равны нулю. Следовательно,
С[(х) у'г(х) + С'2{х) у'2(х) = f(x). (18.20)
Итак, для нахождения неизвестных функций С±(х) и С2(х) надо решить совместно систему уравнений (18.19) и (18.20).
Таким образом, метод вариации произвольных постоянных отыскания частного решения неоднородного решения состоит из двух этапов:
На первом этапе находятся неизвестные функции С[(х) и С'2(х) из системы уравнений (18.19) и (18.20):
С\{х) у\{х) + С'2(х) у2{х) = 0, C[(x)y'1(x) + C^x)y'2(x) = f(x).
На втором этапе по найденным функциям С[(х) и С'2(х) с помощью интегрирования отыскивают С\(х) и С2(х) и подставляют в представление для частного решения
у = d(x) г/1 (ж) + С2{х) у2(х).
V Пример 5. Найти общее решение уравнения
18.4- Линейные неоднородные второго порядка
395
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид Следовательно,
к2+ 1 = 0.
а = 0, /3 = 1.
Поэтому частными решениями однородного уравнения
у" + У = о
являются функции
yi = cos ж, у2 = sin ж, а общее решение однородного уравнения есть функция
У одн = С\ cos х + С2 sin ж. Таким образом, частное решение заданного уравнения имеет вид
у = С\(х) cos х + С2(х) sin ж, где функции С\{х) и С2{х) находятся из системы уравнений 'С[(х) cosх + С2(х) sinх = О,
-С{(ж) sinх + С'2{х) cosх = —^
sin х
Умножая первое уравнение этой системы на sin ж, а второе на cos х и суммируя их, получаем
С'2(х) sin2 х + С'2(х) cos2 х =
sin X т. е.
С2\х) =--•
sin Ж
Интегрируя находим
С2(х) = In | sin х\
(здесь не пишем In | sin х \ + С, так как ищется не общее, а частное решение. Поэтому можно считать, что С = 0). Подставляя
С2\х) =--
sin X
в первое из уравнений данной системы, получаем С[(х) cos х + cos х = О,
396 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
откуда
С[(х) = -1.
Следовательно,
С\(х) = —х.
Таким образом, частное решение заданного дифференциального уравнения представляет функцию
у = —х cos х + sin х In I sin x|, а общее решение — функцию
у = (Ci — х) cos х + (С2 + In I sin x\) sin x. A Задача 4. Найти общее решение уравнения
у" + 4у = -
sin2 X
Ответ:
у = (С\ — In | sin х\) cos х + (С2 — ^ ctg х — х) sin ж.
Задача 5. Найти общее решение уравнения у" + Ау' + Ау = е~2х 1пх.
Ответ:
у= (с1 + С2х + ±х2 Ых-^х2^ ~~2х
Принцип наложения. При решении неоднородных уравнений часто оказывается полезным принцип наложения (или принцип суперпозиции.)
Теорема 2. Если правая часть линейного неоднородного урав-нения представлена в виде суммы двух функций, т. е. дано уравнение
у" + ру' + qy = f±(x) + f2(x) и у\ есть частное решение уравнения
у" + ру' + qy = Л(ж), а у2 есть частное решение уравнения
у" + ру' + qy = /2(ж), то у = у\ + у2 есть частное решение заданного уравнения.
18.4- Линейные неоднородные второго порядка
397
V Пример 6. Найти общее решение уравнения у" - 7 у' + 10 у = 4 е3х + 10 х + 3.
Решение. В данном случае fi(x) = 4е3ж, а f2(ж) = 10 ж + 3. Ранее в примере 1 (с. 387) уже было найдено общее решение неоднородного уравнения
у"-7у' + 10у = 4е3я\
Общим решением этого неоднородного уравнения с правой частью fi(x) является
у = Сг е2ж + С2е5ж-2е3ж.
Частным решением уравнения
у"-7у' + 10у = 10х + 3
с правой частью /2(ж) является функция
У2 = * + 1 •
Следовательно, согласно теореме 2, общее решение исходного уравнения таково:
у = С1е2х + С2еЬх-2е3х+х + 1. А
Задача 6. Найти общее решение уравнения у"-Zy' + 2у = Ъе2х + 2х2.
Ответ:
у = Сг е2х + С2 ех + 3 х е2х + х2 + 3 х + 7-.
Колебания цен. В предыдущем параграфе рассматривалось однородное уравнение колебаний цен
s"(t) + 26sf(t) + uls(t) = 0,
где s(t) рассматривалось как отклонение рыночной цены от своего «естественного» значения. Экономический смысл имеет также и неоднородное уравнение
s"(t) + 28s'(t) + ou2s(t) = f(t).
Оно описывает колебание цен на рынке при внешнем воздействии /(?). Внешнее воздействие может быть интерпретировано,
398 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
например, как завоз на рынок большой партии аналогичной импортной продукции или же как государственные дотации и т. п.
18.5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Линейным неоднородным уравнением п-го порядка называется уравнение вида
У(п)+ pi(x) у^~1) + р2(х) у^~2) + ...+
+ Pn-i(x)y' + pn(x)y = f(x), (18.21)
где Pi{x) {г = 1, 2, ... , n), f(x) — заданные функции.
Если правая часть уравнения (18.21) f(x) = 0, то получаем уравнение
У(п) + Pi(x) у^ + р2(х) y^~2) + ...pn-i(x) у' + Рп(х) у = О,
(18.22)
называемое линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (18.21).
При отыскании общего и частного решений уравнений (18.21) и (18.22) важную роль играет понятие линейной зависимости и независимости функций у\(ж), у2[х\ ..., уп(х).
