Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
случае функции у\ и у2 называются линейно независимыми.
Например, функции у\ = х, у2 = Зж линейно зависимы, а функции у\ = х, у2 = х + 1 линейно независимы.
От того, линейно зависимы или линейно независимы функции у\ и у2, зависит ответ на вопрос: является ли функция у = = Ciyi + С2 У2 общим решением уравнения (18.8)?
Верна следующая
Теорема 3. Если у\ и у2 — линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения (18.8), то функция
Уот = Ci г/1 + С2 У2 является общим решением этого уравнения.
18.2. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка
375
V Пример. Найти общее решение уравнения у"-3у' + 2у = 0,
если известно, что у\ = ех и у2 = е2х — частные решения этого уравнения.
Решение. Данное уравнение является линейным однородным. Так как
у* - ^1 -
У1 ех
не является постоянным числом, то эти решения являются линейно независимыми. Поэтому
у{х) = С1ех + С2е2ж,
где С\ и С2 — произвольные постоянные, является общим решением уравнения. А
Что касается решения неоднородного уравнения (18.7), то имеет место следующая
Теорема 4. Общее решение уравнения (18.7) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (18.8) и какого-нибудь частного решения данного уравнения (18.7). Если
У от = Ci Vi(x) + С2 У2(х)
есть общее решение уравнения (18.8), а у есть какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения (18.7), то
у = Ci г/1 (ж) + С2у2(х) + у
есть общее решение неоднородного уравнения (18.7).
Таким образом, чтобы найти общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка, надо предварительно найти общее решение соответствующего уравнения без правой части и прибавить к нему какое-нибудь частное решение заданного уравнения.
С другой стороны, чтобы найти общее решение однородного уравнения, надо иметь два частных линейно независимых решения этого уравнения. Для случая, когда р(х) и q(x) не являются постоянными числами, нахождение таких частных решений — весьма сложная задача. Сравнительно легко найти такие решения, когда р и q — постоянные числа.
376
Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
18.3. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общим решением линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (18.10) является функция
где у\ и у2 — два линейно независимых частных решения этого уравнения.
Для нахождения одного из частных решений поступим следующим образом. Предположим, что
где к — некоторое постоянное число, есть решение уравнения (18.10). Выясним, при каких значениях к показательная функция у = екх станет решением уравнения (18.10). Для этого находим
и подставляем у, у' и у" в левую часть уравнения (18.10). В результате подстановки получим выражение
к2екх +ркекх + qekx = екх (к2 + р к + q). (18.11)
Чтобы у = екх удовлетворяло уравнению (18.10), требуется, чтобы выражение (18.11) было тождественно равно нулю. Так как сомножитель екх не равен нулю ни при каком значении к, то второй сомножитель должен быть равен нулю. Следовательно, те значения к, которые удовлетворяют уравнению
пригодны для составления частного решения у = е .
Уравнение (18.12) называется характеристическим по отношению к уравнению (18.10).
Как видно, чтобы получить характеристическое уравнение (18.12), достаточно заменить в данном уравнении (18.10) производные соответствующими степенями неизвестной к.
Если действительное число к является корнем характеристического уравнения, то, как было показано, ек х — частное решение уравнения (18.10). Поиск другого частного решения, линейно
У = Сху\ + С2У2,
у' = кекх, у" = к2ек»
к2 +р к + q = 0,
(18.12)
к х
18.3. Линейные однородные уравнения второго порядка с
377
независимого с первым, зависит от вида характеристического уравнения.
При решении характеристического уравнения могут встретиться три случая: корни характеристического уравнения действительные и различные, корни равные, нет действительных корней. Справедлива следующая
Теорема. 1. Пусть характеристическое уравнение (18.12) уравнения (18.10) имеет действительные корни к\ и к2, причем к\ ф к2. Тогда обилие решение уравнения (18.10) имеет вид
у = Сгек1Х + С2ек2Х,
где С\ и С2 — некоторые числа.
2. Если характеристическое уравнение (18.12) имеет только один корень к, то общее решение уравнения (18.10) имеет вид
у = С1екх + С2хекх,
где С\ и С2 — некоторые числа.
3. Если характеристическое уравнение (18.12) не имеет действительных корней, то общее решение уравнения (18.10) имеет вид
у = Ci еах smfix + С2 еах cos/Зж,
где а = — р/2, /3 = \/q — р2/4 , С\ и С2 — некоторые числа.
? Пусть корни характеристического уравнения (18.12) действительные и различные, т. е. к\ф к2. Тогда
У1 = eklX и у2 = ек2Х
являются линейно независимыми решениями, так как они удовлетворяют уравнению и
У1 екг
Отсюда и из теоремы 3 п. 18.2 следует, что общее решение уравнения (18.10) имеет вид
y = deklX + C2ek2X.
Таким образом, для случая, когда характеристическое уравнение имеет два действительных корня, теорема доказана.
