Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 102

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 123 >> Следующая

«Фактическая цена, за которую обычно продается товар, называется его рыночной ценой. Она может или превышать его естественную цену, или быть ниже ее, или же в точности совпадать с нею ... Таким образом, естественная цена как бы представляет собой центральную цену, к которой постоянно тяготеют цены всех товаров. Различные случайные обстоятельства могут иногда держать их на значительно более высоком уровне и иногда несколько понижать их по сравнению с нею. Но каковы бы ни были препятствия, которые отклоняют цены от их устойчивого центра, они постоянно тяготеют к нему 1) .»
Описанное в этих цитатах «тяготение» (в чем-то схожее с силой упругости пружины) будем называть силой Смита F\(t). Естественно предполагать, что сила Смита направлена в сторону точки О на оси Os и по по величине пропорциональна отклонению цены s(t):
F1(t) = -bs(t).
Коэффициент пропорциональности b будем называть коэффициентом Смита.
Помимо силы Смита на рынке может действовать еще и аналог силы трения, которую мы назовем силой сохранения ^(t). Адам Смит писал: «Одно и то же число рабочих в сельском хозяйстве производит в различные годы весьма различные количества зерна, вина, масла, хмеля и т. п., между тем как одно и то же количество прядильщиков и ткачей каждый год производит
г) Смит Л. Исследование о природе и причинах Богатства народов. Книга первая. М.: Ось-89, 1997. С. 56, 58.
18.3. Линейные однородные уравнения второго порядка с
383
одинаковое или почти одинаковое количество полотна и сукна ... Собственный опыт каждого человека говорит ему, что цена полотна или сукна не подвержена столь частым и столь большим колебаниям, как цена хлеба. Цена одного рода товаров изменяется лишь в зависимости от изменений в спросе; цена другого рода товаров изменяется не только в зависимости от изменений в спросе, но и в зависимости от гораздо больших и гораздо более частых колебаний количества товара, доставляемого на рынок для удовлетворения этого спроса 1) .»
Таким образом, сила сохранения тем больше, чем более реже происходят колебания цены. Эта сила зависит от вида товара (сезонных и других колебаний количества товаров на рынке), психологии продавца (меньшей или большей склонности к изменению цены) и других факторов. Естественно полагать, что сила
сохранения по величине пропорциональна скорости — и направ-
лена в противоположную сторону I F2 = —г — ). Коэффициент г
и аналогию с пружинным маятником, получаем дифференциальное уравнение отклонения s(t) рыночной цены товара от ее естественной цены:
затухания, а ооо — циклическая частота свободных колебаний в отсутствии силы сохранения.
В новых обозначениях уравнение колебаний имеет вид
По аналогии с пружинным маятником получаем, что возможны три случая:
1. Если 8 > cjo, то имеет место непериодическое затухание:
будем называть коэффициентом сохранения. Используя закон Ньютона
т а = F\ + F2
s"(t) + 28s'(t) + ujls(t) = 0.
s(t) = Сге
+ de
x) Там же, с. 58-59.
384 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
Функция s(t) монотонно убывает с ростом t. Система, выведенная из состояния равновесия, асимптотически, т. е. при t —> оо, возвращается в это состояние.
2. Если 8 = cjo, то также имеет место непериодическое затухание:
s(t) = e-st (Ci +C2t).
3. Если 0 < 8 < cjo, то система совершает затухающие колебания:
s(t) = A0e~6t sin(cj t + фо),
где Л о и фо — постоянные величины, а оо = ^oJq — 82 — собственная циклическая частота колебаний. А
V Пример 3. Найти общие решения уравнений:
а) j/" + 2j,'-15j/ = 0;
б) у"-10у' + 25у = 0;
в) j/"-4j,' + 13j/ = 0.
Решение.
а) Составляем характеристическое уравнение
к2 + 2 к -15 = 0.
Корнями этого уравнения являются два действительных числа к\ = —5 и к2 = 3. Поэтому общее решение имеет вид
у = С1е"5ж + С2е3ж.
б) Составляем характеристическое уравнение
к2 -10 к + 25 = 0.
Решая это уравнение, получим к\ = к2 = 5. Так как корни равные, то общее решение
у = (Сг + С2х)е5х.
в) Характеристическое уравнение
fc2-4fc + 13 = 0
не имеет действительных корней. Вычисляем соответствующие а и /3:
а = -р/2 = 4/2 = 2, /3 = - р2/4 = \Дз - 16/4 = 3.
18.3. Линейные однородные уравнения второго порядка с
385
Отсюда получаем общее решение:
у = е2х (Ci cos 3 х + С2 sin 3 х). А
Задача 1. Найти общие решения уравнений: а) у" + 2у' + 2у = 0;
б) у/; + 4у = 0; в) у" + 4у' + 4у = 0.
Ответ:
а) у = е~х (С\ cos ж + С2 sin ж). Если х — время, то эта функция описывает колебания отклонений у рыночной цены от ее естественного значения. Колебания являются затухающими. При х —> оо отклонение от естественной цены стремится к нулю;
б) у = С\ cos 2 ж + С2 sin 2 ж. Функция описывает колебания отклонений рыночной цены от ее естественного значения в момент времени х. Колебания являются незатухающими. При х —> оо отклонение у(х) не имеет предела. Рыночная цена постоянно колеблется вокруг естественной цены;
в) у = (С\ + С2 х) е~2х. Функция описывает постепенное понижение рыночной цены. При х —> оо отклонение от естественной цены стремится к нулю.
V Пример 4. Найти частное решение уравнения S/" + 4s/' + 4s/= 0, удовлетворяющее начальным условиям
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed