Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
>eqn:=diff(у(х),х$4)-у(х)=8*ехр(х): >dsolve(eqn,y(x));
1-3 (еж)2 + cosxex + 2 s'mxex + 2хе2х ех Vх '
В полученной дроби поделим числитель на знаменатель: >expand(");
е~х - 3 ех + cos х + 2 sin х + 2 х е2 х
(вообще команда expand(") раскрывает скобки).
Этот результат совпадает с ответом, полученным в задаче 2 п. 18.5. А
С помощью команды dsolve можно решать и дифференциальные уравнения, рассмотренные в гл. 17
V Пример 3. Решить уравнение Бернулли
ху - у = х3у2.
18.6. Решение дифференциальных уравнений с помощью пакета Maple 403
Решение.
>dsolve(x*dsolve(diff (у(х) ,х) -у=х~3*у~2,у(х));
1 _ _1 ж4-4_С1 у(х) 4 х
Результат вычисления совпадает с ответом
_ 4ж У~ АС-х"
приведенным при изучении уравнения Бернулли. А
Экономический план можно представить себе как численное решение конкретной системы уравнений общего равновесия.
В. Леонтьев
Глава 19 Системы дифференциальных уравнений
19.1. Основные понятия
Совокупность уравнений вида
'dyi * ( -^ = /i(*. VU V2,
МУЛ ? ( \
= Jn{x, Уи У2, , Уп),
где yi, у2, Уп — искомые функции от независимой переменной ж, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка. Всякая совокупность п функций
г/1 = г/1 (ж), У2 = У2(х), уп = уп(х) (19.2)
называется решением системы (19.1) в интервале X, если она обращает все уравнения системы (19.1) в тождества, справедливые при всех значениях х из интервала X. Процесс нахождения решений системы называется интегрированием этой системы. График решения (19.2) называется интегральной кривой системы (19.2).
Система уравнений (19.1) разрешена относительно производных от искомых функций. Поэтому ее называют еще системой дифференциальных уравнений в нормальной форме или нормальной системой.
Задача Коши для нормальной системы (19.1) ставится так: найти решение (19.2), удовлетворяющее начальным условиям
••• , Уп),
••• , Уп),
(19.1)
19.1. Основные понятия
405
{условиям Коши)
г/1 (ж) = г/1(ж0), г/2(ж) = Ыжо), ... , г/п(ж) = г/п(ж0),
где жо — заданное число. Геометрически ищется интегральная кривая, проходящая через данную точку
Рассмотрим нормальную систему вида (19.1), где х — время, а У\ , У2-) • ••, Уп — координаты точки n-мерного пространства. Это пространство будем называть фазовым пространством. В случае п = 1 фазовое пространство есть ось Ох; при п = 2 — плоскость (ж, г/) — фазовая плоскость.
Всякое решение
(интегральная кривая) системы (19.1) представляет собой закон движения точки в фазовом пространстве. Поэтому решение (19.3) называют просто движением, определяемым системой дифференциальных уравнений (19.1), а путь, описываемый точкой в фазовом пространстве, — траекторией этого движения.
Левые части системы (19.1) суть составляющие (по осям координат) скорости движения точки. Поэтому система (19.1) задает так называемое поле скоростей движений, так что точка может проходить в момент времени х через положение
{УЪ У2, , Уп)
только с заданной скоростью. Требуется найти сами движения и изучить их свойства.
Если скорость, с которой точка проходит через положение
{УЪ У2, ... , Уп),
не зависит явно от момента времени прохождения, т. е. система (19.1) имеет вид
(ж0, 3/1 (жо), У2(х0), г/п(ж0)).
(19.3)
(dyi
fi{yu У 2,
, Уп),
<
dx dy2 dx
/2(2/Ь У 2,
, Уп),
(19.4)
~Г~ = fn{yi, У2, ... , Уп),
406
Гл. 19. Системы дифференциальных уравнений
она называется стационарной или автономной системой.
Если правой части нормальной системы линейно зависят от искомых функций
Уг, У2, Уп,
т. е. эта система имеет вид
^7 = Рп(х) yi + pi2{x) г/2 + .» + Pin(x) уп + Л(ж), ^ = P2i(x) г/i + р22(ж) г/2 + ... + Р2п(ж) г/п +
dv
= Pnl(x) У\ + Рп2(х) У2 + ¦¦¦+ Рпп(х) Уп + fn(x),
(19.5)
она называется линейной системой.
19.2. Система линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
Из линейных систем (19.5) наиболее важными, как в теории, так и в приложениях, являются системы с постоянными коэффициентами:
-j- = Pll У1 + Р12 У2 + -.. + Pin Уп + Л (ж),
^7 = Р21 У1 + Р22 У2 + -.. + Р2п Уп + g
dyn dx
= Pnl У1 + Рп2 У2 + -.. + Рпп Уп + fn{x),
где функции fi(x) (г = 1, 2, ... , п) обычно предполагаются непрерывными в некотором интервале X.
Если все (ж) = 0, то система (19.6) называется однородной, в противном случае — неоднородной.
19.2. Система линейных дифференциальных уравнений ... 407
В матричной форме однородная система выглядит следующим образом:
/УЛ /Рп Р12 • • Р1п\
d У2 Р21 Р22 • • Р2п У2
dx
\Уп/ \Рп1 Рп2 • • Рпп/ \Уп)
По-другому ее можно записать в следующем виде:
где г, j = 1, 2, ... , п.
В более компактной форме последнюю формулу можно записать так:
dY
dx
(19.7)
где Y =
/у А
У2
искомый вектор, а Р — численная матрица
\Уп/
размера п х п.
Чтобы найти решение системы (19.7), введем пробную функцию
Y = Ze
к х
где
Z =
(*А
Подставим ее в левую часть равенства (19.7). Получим
dY _ d(Zekx)
= к Z е
к х
dx dx
Отсюда и из (19.7) вытекает, что
PZekx = kZekx
408
Гл. 19. Системы дифференциальных уравнений
