Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 99

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 123 >> Следующая

Условия (18.4) называются начальными условиями, а задача отыскания решения уравнения (18.3) по заданным начальным условиям (18.4) называется задачей Коши.
Общим решением дифференциального уравнения второго порядка (18.3) называется функция
у = у (ж, Ci, С2),
если она является решением этого уравнения при любых постоянных величинах С\ и С2, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (18.4). Частным решением уравнения (18.3) называется общее решение этого уравнения при фиксированных постоянных С\ и С2'.
у = у{х,С\,С$).
В зависимости от способов решения дифференциальные уравнения второго порядка разделяются на различные типы. Простейшим типом является уравнение
y" = f(x), (18.5)
допускающее понижение порядка. Одно из уравнений этого типа уже было решено в примере 1.
Покажем, как такое уравнение решается в общем случае. Правая часть уравнения (18.5) не содержит функции у и производной у7. Известно, что у" = (у7)7 = Следовательно, данное
18.1. Основные понятия
371
уравнение можно записать так:
% - /<*>.
или
dy' = f{x)dx. Интегрируя последнее уравнение, получим
у = f(x)dx.
Интегрируя еще раз, получим общее решение уравнения (18.5): У =
f(x) dx^j dx.
V Пример 2.
Найти частное решение уравнения
у" = 6 х + sin ж, удовлетворяющее начальным условиям:
у(0) = 2, у'(0) = 3.
Решение. Так как у" = -j-, данное уравнение можно записать так: х
dy' п
—— = Ь х + sin ж,
ах
или
dy' = (6 х + sin х) dx.
Интегрируя, получим
у' = Ъх2 -cosx + d. (18.6)
Тогда
dy = (3 х2 — cos х + С\) dx.
Интегрируя еще раз, получаем общее решение
у = х3 — sin х + С\ х + С2-
Используем начальные условия. Подставив в общее решение х = 0 и у = 2, получим С2 = 2. Подставив в (18.6) х = О и у' = 3, будем иметь
3 = -1 + Сь
372 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
откуда
Ci =4.
Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид
у = х3 — sin х + 4 х + 2.
Геометрически найденное частное решение выражает собой интегральную кривую, которая проходит через точку Mq(0, 2). Кроме того, касательная, проведенная к этой кривой в точке Mq, образует с положительным направлением оси Ох угол, тангенс которого равен 3.
Задача. Найти общее решение уравнения у" = х + cos ж.
Ответ: \ х3 — cos х + С\ х + С2. 6
Теорема существования и единственности решения задачи Коши обобщается и на уравнения более высокого порядка. А именно верна следующая
Теорема 2 (существования и единственности). Если правая часть уравнения
yM = f(x,y,y',...,y^
нерерывна в некоторой окрестности начальной точки
[хо,Уо,Уо, ••• >Уо )
и имеет непрерывные в этой окрестности частные производные у, у\ ...з/™-1), то оно имеет единственное решение у = у(х), удовлетворяющее начальным условиям
У = Уо, У = Уо, ••• , УК -Уо
при x = Хо-
18.2. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка
373
18.2. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
где р(х), q(x), f(x) — функции переменной х.
Если f(x) ф 0. то уравнение (18.7) называется неоднородным. Если f(x) = 0, то уравнение (18.7) принимает вид
^ + p(x)^ + q(x)y = 0 (18.8)
и называется однородным.
Если в уравнениях (18.7) или (18.8) коэффициенты р(х) и q(x) постоянные, соответственно равные р и q, то полученные уравнения:
y" + py' + qy = f(x), (18.9)
У" + Р У' + qy = 0 (18.10)
называются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.
Теорема 1. Сумма двух решений однородного линейного уравнения (18.8) также есть решение этого уравнения.
? Предположим, что у\(х) и У2{%) ~ решения уравнения (18.8); это означает, что имеют место тождества:
у'{ + р(х)у[ + q(x)y1 = 0,
yf2+p(x)yf2 + q(x)y2 = 0. Складывая почленно эти тождества, получаем
(У1 + 3/2)" + Р(х) (У1 + 3/2)' + я(х) (У1 + 3/2) = о.
Это означает, что функция (у± + у2) удовлетворяет уравнению (18.8). ¦
Теорема 2. Если у\ — решение линейного однородного уравнения (18.8) и если С\ — произвольная постоянная, то С\ у\ также есть решение этого уравнения (18.8).
(18.7)
374 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
? Найдем первую и вторую производные функции С\ у\\
(С1У1)' = С1У[, (С1У1)" = С1У'{.
Подставив функцию С\ у\ в левую часть уравнения (18.8) и воспользовавшись тем, что
yf{ + p(x)y[ + q(x)y1 = 0,
получим
(Ci т)" + р(х) (d т)' + q(x) (d уг) =
= Сх у'{ + р(х) Ci у[ + q(x) d У1 =
= Сг (у'{ + р(х) у[ + q{x) Ш) = Сх ¦ 0 = 0.
Это означает, что функция С\ у\ удовлетворяет уравнению (18.8). ¦
Из двух доказанных теорем вытекает
Следствие. Если у\ и yi — решения линейного однородного уравнения (18.8), то С\у\ и С2У2 — решения этого уравнения, следовательно, и выражение
У = Сгуг + С2 У2
есть решение этого уравнения.
В дальнейшем нам понадобятся понятия линейной зависимости и независимости функций.
Две функции у\ и у2 называются линейно зависимыми, если
У о „
их отношение — является постоянной величиной. В противном У1
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed