Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Для двух других случаев теорема доказывается аналогично. ¦
378 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
Ниже приведены применения доказанной теоремы к известной задаче о малых колебаниях пружинного маятника. Эти примеры приводятся здесь не случайно. Соответствующая физическая задача может быть интерпретирована как экономическая задача о колебаниях цен.
V Пример 1. Материальная точка массы т, движущаяся вдоль прямой, притягивается к неподвижному центру О с силой, пропорциональной удалению s точки от притягивающего центра (упругая сила). Найти закон движения этой точки (пренебрегая сопротивлением среды).
Решение. Согласно закону Ньютона имеем
Здесь через т обозначена масса точки, через а — ускорение, через F — сила. Закон Ньютона в условиях нашей задачи можно записать в следущей форме:
где b — коэффициент пропорциональности и знак минус поставлен потому, что направление действующей силы обратно по знаку смещению s. Отсюда
Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами р = О и q = и2. Соответствующее характеристическое уравнение
не имеет действительных корней. Общее решение уравнения согласно теореме имеет вид
т а
= F,
т
k2 + u2 = 0
s =
Ci eat sm/3t + C2eat cos/3t.
Поскольку
a =
p/2 = 0,
TO
s
s(t) = C\ sin oo t + C2 cos uj t.
18.3. Линейные однородные уравнения второго порядка с
379
Можно положить
С\ = A sin ф, С2 = A cos ф,
где А и ф — некоторые другие произвольные постоянные. Отсюда, используя тригонометрические формулы, получаем
s(t) = A sin (uj t + ф) ,
или
s(t) = Asm +
т. е. материальная точка в наших условиях совершает периодические гармонические колебания около притягивающего центра с амплитудой А и начальной фазой ф. А
V Пример 2. Материальная точка массы т, движущаяся вдоль прямой, притягивается к неподвижному центру О с силой, пропорциональной удалению s точки от притягивающего центра (упругая сила). Найти закон движения этой точки с учетом сопротивлением среды.
Решение. В отличие от предыдущего примера, помимо «упругой» силы
F= -bs
на точку массы т действует еще и сила сопротивления среды. Обычно полагают, что сила сопротивления по величине про-
ds
порциональна скорости — и направлена в противоположную
сторону {^F = —г - Поэтому уравнение отклонения точки от неподвижного центра О имеет вид
та=F+F
или
d2s ds .
т —тт = —г —--bs,
dt2 dt
где г — постоянная сопротивления среды.
Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, которое в привычной форме записывается так:
380 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
т т
Поведение решения однородного дифференциального уравнения зависит от дискриминанта характеристического уравнения. Возможны три случая: дискриминант D больше нуля; дискриминант равен нулю; дискриминант меньше нуля. 1. Если дискриминант
\т) т
то характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня
г 1 ( г\2 46 _ г 1 ( г\2 46
s(t) = C1eklt + C2ek2t =
= е 2т е v + е v
2. Если дискриминант
г \2 46
D= - - — = 0, \т) т
то характеристическое уравнение только один корень
2 т
который является действительным числом, и
s{t) = Сг ekt + С2 t ек * = е~^'' (d + C2t). 3. Если дискриминант
D = (?)2-l^<o,
то характеристическое уравнение не имеет действительных корней и
s(t) = Cieat sinf3t + C2eat cos/3t.
18.3. Линейные однородные уравнения второго порядка с
381
Поскольку
то
1 /46 /гх2
1 2 \] т \т I
+ C2COS-W— - - * .
2 у ш \ш у
Чтобы проанализировать закон движения точки, введем новые обозначения. Обозначим г/{2т) через 5, а \Jbjm — через cjg. Коэффициент 8 называют коэффициентом затухания, a ujq — циклической частотой свободных колебаний в отсутствии трения.
В новых обозначениях уравнение колебаний имеет вид
s"{t) + 26s'{t) + uls{t) = 0.
Обобщая предыдущие рассуждения получаем, что для движения точки возможны три случая:
1. Если 8 > ujq, то имеет место непериодическое затухание:
s(t)
Функция s(t) монотонно убывает с ростом t. Система, выведенная из состояния равновесия, асимптотически, т. е. при t —> оо, возвращается в это состояние.
2. Если 8 = ооо, то также имеет место непериодическое затухание:
s(t) = e-st(C1 +C2t).
3. Если 8 < ооо, то система совершает затухающие колебания:
s(t) = A0e~st s'm(oot + фо),
где Aq и фо — постоянные величины, оо = ^Joo$ — 82 — собственная
циклическая частота колебаний. Величина A(t) = Aq е~^г называется амплитудой затухающих колебаний. А
382 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
Колебания рыночных цен. Примеры 1 и 2 применимы не только к колебаниям пружинного маятника. Рассмотренное дифференциальное уравнение применимо к любой системе, испытывающей колебания. Например, оно может быть интерпретировано и как уравнение колебаний отклонения рыночной цены товара от его естественной цены. Более точно эта интерпретация выглядит следующим образом. Пусть s(t) — отклонение рыночной цены от ее естественного значения в момент времени t (при s(t) = О рыночная цена в момент времени t совпадает с равновесной). Найдем уравнение отклонения рыночной цены от ее естественного состояния. Для этого предположим, что на рынке товаров действуют две силы, аналогичные силам упругости и сопротивления для пружинного маятника, которые условно назовем силой (тяготения) Смита и силой сохранения. Чтобы пояснить, что понимается под силой Смита, приведем две его цитаты:
