Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 95

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 123 >> Следующая

= 3 > О,
Д3 = det(#) = -4 < 0.
Отсюда согласно достаточному условию локального экстремума найденная стационарная точка определяет локальный максимум функции прибыли. Причем, 11(1, 2, 3) = 25. Значения функции прибыли на границе тела (16.6) меньше 25. Действительно, наибольшее значение функции прибыли H(x,y,z) при х = 0 равно 73/3 « 24,33, при у = 0 равно приблизительно 22,33, а при z = 0 равно 19.
Таким образом, наибольшее значение достигается при х = 1, у = 2, z = 3. Следовательно, товары в данном случае лучше производить в соотношении 1:2:3. А
16.8. Экономия ресурсов
В предыдущей главе (с. 305) были рассмотрены методы поиска экстремумов функции двух переменных. В настоящем параграфе рассмотрены некоторые приложения этих задач к задачам экономии ресурсов.
V Пример 1. Рассчитать размеры параллелепипеда так, чтобы при заданном объеме V = 1м3 площадь его поверхности была минимальной. В качестве приложения эту задачу можно сформулировать иначе: рассчитать размеры коробки так, чтобы на ее изготовление ушло наименьшее количество материала.
Решение. Обозначим через х и у размеры основания, тогда
высота h вычислится из соотношения 1 = xyh, т. е. h = —.
ху
Составим функцию площади
S = 2xy + 2-^- + 2— = 2xy + 2(- + -), х^О.у^О. ху ху \х у)
Можно предположить, что существуют такие х и у, при которых S достигает наименьшего значения. Задача состоит в том, чтобы найти эти числа.
12 Я. М. Ахтямов
354
Гл. 16. Использование понятия функции многих переменных
Исследуем на экстремум функцию
S = S(x, у) = 2ху + 2(± + ^)
двух переменных х и у (если бы в условии задачи было указано, что основание — квадрат, то S была бы функцией лишь одной переменной):
1) Найдем частные производные:
2
S'x{x, у) = 2у- —,
x
2
S'y(x, у) = 2х-
У у
2) Приравниваем к нулю частные производные
у - -4 = 0, х-\ = 0.
х у
Подставим у = 1/ж2, найденное из первого уравнения, во второе уравнение. Имеем
у = —у. х — х = О.
х
На множестве действительных чисел эта система уравнений имеет одно решение:
х = 1, у = 1, h = 1.
3) Найдем частные производные второго порядка:
Q" kJ XX 4 ~ Xs' А = 4 Л = 4 > 0,
qff УУ 4 С = 4 F' С = 4,
с" ^ ху = 2, В = 2,
А = АС- Б2 = 12 > 0.
Так как А > 0, А > 0, то в точке (1, 1) функция имеет минимум: Smin = 5(1, 1) = 2 • 1 • 1 + 2 (1 + 1) = 6 (м2). А
16.8. Экономия ресурсов
355
V Пример 2. Определить размеры прямоугольного бассейна данного объема V, чтобы на облицовку (дна и стен) потребовалось наименьшее количество материала.
Решение. Обозначим через х и у размеры основания, тогда высота h вычислится из соотношения V = х у /i, т. е. h = V/(ху). Составим функцию площади
2yV 2xV OT, /1 1\
S = ху + -2— +-= Xy + 2V [- + -) , хф О, уфО
ху ху \х у)
(произведение х у, в отличие от предыдущего примера, учитываем лишь один раз, поскольку бассейн не имеет крышки). Исследуем на экстремум функцию
S = S(x,y) = xy + 2V (1 + ^)-
1) Найдем частные производные:
S'x{x, у) = у -2-^,
x
S'y(x, у) = х-2^.
У у
2) Приравниваем нулю частные производные
V V
у — — = 0. х — 2 —у = 0.
х у
Решение последней системы дает одну стационарную точку
3) Найдем частные производные второго порядка:
А = 5^(Р0)=4>0,
С = Syy(Po) = 2,
в = S'xy(Po) = 1,
В2 = 4- 1 = 3 > 0.
Так как Д>0, Л > 0, то в точке Ро функция имеет минимум. Если
12*
S" =4 —
^хх з '
т
S" = 4 1
у_ v
УУ
3 '
Ч" = 1
^ ху '
А = АС
356
Гл. 16. Использование понятия функции многих переменных
то
1 3/-
Таким образом, дно бассейна есть квадрат со стороной а глубина бассейна в два раза меньше стороны этого квадрата. А
Задача. Для упаковки продукции требуется изготовить коробку в форме параллелепипеда, объем которой был бы равен V. Дно коробки изготавливается из материала, каждый квадратный сантиметр которой стоит а денежных единиц. Крышка изготавливается из материала, каждый квадратный сантиметр которой стоит b денежных единиц. Боковая поверхность изготовляется из материала, каждый кв. см которой стоит с денежных единиц. Определить каковы должны быть размеры всех сторон ж, у, /i, чтобы стоимость коробки Р = Р(х, у, h) была наименьшей.
Указание. Р(ж, у, h) = (а + b) х у + 2 с h (х + у).
Заметим, что при a = b = c = V = l получаем х = у = h = 1 (решение первого примера), а при b = 0, а = с получаем
Ответ:
(решение второго примера).
Раздел V
Дифференциальные и разностные уравнения
Алгебраические решения получаются не иначе, как через уравнения.
О. Хайям
Глава 17
Дифференциальные уравнения первого порядка
17.1. Задачи, приводящие
к дифференциальным уравнениям
Уже была исследована задача вычисления неопределенного интеграла от функции f(x). Решение этой задачи
f(x)dx = F(x) + C,
где F(x) — первообразная функции /(ж), можно рассматривать как решение уравнения
У' = f(x), (17.1)
поскольку (F(x) + C)f = f(x). Уравнение (17.1) содержит производную у1. Поэтому его называют дифференциальным уравнением. Оно имеет бесчисленное множество решений. Каждое из решений представляет некоторую первообразную от функции f(x).
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed