Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 96

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 123 >> Следующая

358
Гл. 17. Дифференциальные уравнения первого порядка
Если потребовать, чтобы для решения y(i) выполнялось дополнительное условие
3/(0) = 1,
то среди всех решений найдется только одно, которое ему удовлетворяет. Действительно, поскольку у(х) = F(x) + С и у(0) = = 1, то
3/(0) = F(0) + С = 1, С = 1-^(0),
откуда
у(х) = F(x) + С = F(x) + 1 - F(0).
V Пример. Пусть известно, что в начальный момент времени t = 0 на предприятии производилось продукции в количестве у о, а скорость роста продукции, произведенной на предприятии, пропорциональна инвестированию u(i). Найти какое количество продукции y(t) производится в каждый момент времени ?, если инвестирование предприятия постоянно и равно 3 денежным единицам.
Решение. Согласно условию задачи dt v )
Поскольку первообразной от постоянной величины 3 является линейная функция 3 k t + С, то решение дифференциального уравнения представляет функцию y(t) = 3 к t + С. Воспользовавшись другим условием задачи, согласно которому
2/(0) = Уо,
получим С = у о, откуда имеем
y(t) = 3kt + y0,
т. е. рост продукции предприятия растет линейно. А
Задача. В условиях предыдущей задачи найти количество продукции y(t), произведенной в каждый момент времени ?, если инвестирование предприятия растет пропорционально времени.
Ответ:
^ = kt, y(t) = k? + y0.
17.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений 359
17.2. Основные понятия теории
дифференциальных уравнений
Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции и в которые входят не только сами функции, но и их производные.
Такими уравнениями являются, например, следующие:
y' = f(x); y» + p(x)y> + q(x)=o; y"' = g(x). (17.2)
Если в уравнение входит первая производная и не входят производные более высокого порядка, то это уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. Если же в уравнение входит вторая производная и не входят производные более высокого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением второго порядка. Аналогично определяются дифференциальные уравнения третьего порядка, четвертого порядка и т. д. Из уравнений (17.2) первое является дифференциальным уравнением первого порядка, второе — дифференциальным уравнением второго порядка, третье — дифференциальным уравнением третьего порядка.
Вообще, порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (искомой функции), входящей в это уравнение. Во многих случаях (см. п. 17.1) искомые функции являются функциями времени t. В общем случае независимая переменная, как обычно, будет обозначаться через ж, а искомые функции — через у = /(ж), z = z(x) и т. п. В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в следующем виде:
F(x, у, у') = 0,
где у = у(х) — искомая неизвестная функция, у' = у'(х) — ее производная по ж, a F — заданная функция переменных ж, у, у1.
Дифференциальные уравнения, рассмотренные в п. 17.1, имеют вид
y' = f(x,y). (17.3)
Такие уравнения называются разрешенными относительно производной.
Функция ф(х), х Е (а, 6), называется решением дифференциального уравнения (17.3), если она имеет производную ф'(х) на (а, 6), и если для любого х Е (а, Ь) справедливо равенство
ф'(х) = /(х, ф(х)).
360
Гл. 17. Дифференциальные уравнения первого порядка
Другими словами, функция ф(х), х Е (а, 6), называется решением дифференциального уравнения (17.3), если уравнение (17.3) при подстановке ее вместо у обращается в тождество по х на интервале (а, Ь).
Аналогично определяется решение дифференциального уравнения (17.2).
В дальнейшем рассматриваются лишь уравнения, разрешенные относительно производной, т. е. уравнения вида (17.3), или уравнения которые приводятся к уравнениям вида (17.3).
Задание уравнения вида (17.3) равносильно заданию функции f(x, у) переменных х, у. Геометрически функция / переменных х, у — это функция, определенная на некотором множестве точек плоскости с координатами х, у.
Любая кривая, заданная уравнением у = ф(х), х Е (а, Ь), где ф(х) — некоторое решение уравнения (17.3), называется интегральной кривой дифференциального уравнения (17.3).
Из этого определения и геометрического смысла производной следует, что интегральная кривая уравнения (17.3) полностью лежит в области, в которой определена функция /, и что интегральная кривая в каждой своей точке М(х, у) имеет касательную, угловой коэффициент которой равен значению функции / в этой точке М.
Задача нахождения решения уравнения (17.3), удовлетворяющего условию
УЫ = У0, (17.4)
где хо, у о — заданные числа, называется задачей Коши. Условие (17.4) называется начальным условием. Решение уравнения (17.3), удовлетворяющее начальному условию (17.4), называется решением задачи Коши (17.3), (17.4).
Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши (17.3), (17.4) означает найти интегральную кривую уравнения (17.3), которая проходит через данную точку Mq(xq, уо)-
Отметим без доказательства, что верна следующая
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed