Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
у = х2 ех (А х + В) = ех (А ж3 + В ж2).
390 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
Вычислим у' и у":
у' = ех {А ж3 + В ж2) + ех (3 А ж2 + 2 В ж) =
= ех (А ж3 + В х2 + 3 А х2 + 2 В ж); у " = ех (А ж3 + В х2 + 3 А х2 + 2 В ж)+
+ еж(ЗЛж2 + 2?ж + 6Лж + 2?) =
= ех (А ж3 + {В + 6 А) х2 + (4 В + 6 А) ж + 2 В).
Подставляя эти значения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение, получим
ех (А ж3 + (В + 6 А) х2 + (4 В + 6 А) х + 2 В)-
- 2 еж (Л ж3 + В х2 + 3 А ж2 + 2 Б ж) + ех (А ж3 + В ж2) = ж еж, откуда
Лж3 + Бж2 + 6Лж2 + 4Вж + 6Лж + 2В-2Л ж3-
-2Вж2-6Лж2-4Вж + Лж3 + Вж2 = ж;
сократив, имеем
6Ах + 2В = ж,
т. е.
6Л = 1, 2? = 0,
откуда
Л = 1/6, Б = 0. Подставляя эти значения в частное решение, получим:
у = \ ж3 еж. у 6
Поскольку общее решение однородного уравнения есть функция
УоДн = (С1 + С2х) ех,
общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть функция
у = {Ci + C2x)ex + \хъ ех. ^
18.4- Линейные неоднородные второго порядка
391
V Пример 4. Найти частное решение уравнения у"-у'-2у = 9е2х, удовлетворяющие начальным условиям
у(0) = 2, у'(0) = 13.
Решение. Находим общее решение однородного уравнения у"-у'-2у = 0.
Характеристическое уравнение
к2 -к-2 = 0
имеет два корня:
&1 = -1, к2 = 2.
Отсюда
У 0ДН = С1е-х + С2е2х.
Так как в правой части заданного уравнения Рп(х) = 9х2х и т = 2 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение у следует искать в виде функции Ах е2х.
Дифференцируя дважды у = А х е2ж, получим:
у1 = Ае2х + 2Ахе2х-
у" = 2Ае2х + 2Ае2х +4Ахе2х.
Подставим у, у1 и у11 в левую часть заданного уравнения и определим коэффициент А :
4Ле2ж +4Ахе2х - Ае2х -2Ахе2х -2Ахе2х = 9е2ж;
ЗЛ = 9; А = 3.
Следовательно, частное решение имеет вид
у = Ъхе2х,
а общее решение:
У = 2/одн + у = Ci е~х + С2 е2х + 3 х е2х.
Используя начальные условия , определим значения произвольных постоянных С\ и С2- Дифференцируя общее решение, получим:
у' = -Ci е"ж + 2 С2 е2х + 3 е2ж + 6 х е2ж. (18.16)
392 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
Подставив в общее решение х = О и у = 2, будем иметь:
2 = Сх + С2. Подставив х = О и у1 = 13 в (18.16), будем иметь:
13 = -Сг + 2 С2 + 3; 10 = -d + 2 С2. Решая систему
+ С2 = 2,
-Ci + 2C2 = 10,
находим: С\ — —2 и С2 = 4. Таким образом,
2/ = -2е-ж+4е2ж + Зже2ж
есть частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям. А
Задача 1. Найти общее решение уравнения у" -Ьу' + Ьу = (12х-7)е~х.
Ответ: у = С\ е2х + С2 е3ж + х е~х.
Задача 2. Найти общее решение уравнения у" + Ъу' + 2у = 2х2-Ах-17.
Ответ: у = С\ е~х + С2 е~2х + х2 - 5 х - 2. Задача 3. Найти частное решение уравнения у" + 4у = 8х, удовлетворяющее начальным условиям:
у(0) = 0; у'(0) = 4.
Ответ: y = sm2x + 2x.
Метод неопределенных коэффициентов применим только в тех случаях, когда правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения, т. е. функция f(x), является либо многочленом, либо показательной функцией, либо синусом или косинусом (этот случай нами не рассматривался), либо произведением этих функций. В тех случаях, когда правая часть f(x) отлична от названных выше функций, применяют так называемый метод вариации произвольных постоянных.
18.4- Линейные неоднородные второго порядка
393
Метод вариации произвольных постоянных. Метод вариации произвольных постоянных является общим методом, позволяющим решать неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Сущность метода заключается в следующем.
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (18.13). Пусть общим решением соответствующего однородного уравнения (18.14) будет функция
2/одн = С1У1(х) + С2у2(х), (18.17)
где yi(x) и у2(х) — два линейно независимых частных решения однородного уравнения (18.14), а С\ и С2 — некоторые произвольные постоянные. Заменим в общем решении (18.17) постоянные С\ и С2 некоторыми функциями С\(х) и С2(х) так, чтобы
У = С1(х)у1(х) + С2(х)у2(х) (18.18)
стало решением неоднородного уравнения (18.13). Другими словами, будем искать частное решение уравнения (18.13) в виде (18.18), т. е. в виде копии функции (18.17), в которой осуществлена вариация (видоизменение) произвольных постоянных произвольными функциями.
Найдем условия на функции С\{х) и С2(х), при которых (18.18) становится решением неоднородного уравнения (18.13).
Если у есть решение неоднородного уравнения (18.13), то при подстановке в левую часть этого уравнения у, у1 иуП получим тождество.
Дифференцируя (18.18), имеем
у' = С[(х) У1(х) + С\(х) у[(х) + С'2{х) у2(х) + С2(х) у'2(х),
или
у' = [С[(х) У1(х) + С'2{х) у2(х)] + Ci(x) у[(х) + С2(х) у'2(х).
Выберем функции С\(х) и С2(х) так, чтобы сумма в квадратных скобках была равна нулю, т. е., чтобы имело место равенство
С[(х)У1(х) + С2(х)у2(х) = 0. (18.19)
Тогда
у' = С1(х)у[(х) + С2(х)у'2(х). Дифференцируя еще раз, находим у":
у" = С[(х) у[(х) + Ci(x) у'Цх) + С'2{х) у'2(х) + С2(х) у'2\х).
394 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
