Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 98

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 123 >> Следующая

которое является линейным. В отличие от примера 1 для нахождения общего решения неоднородного уравнения воспользуемся готовой формулой (17.9). Имеем
\J COS X J
1 . In cos x dx
e[ncosxax dx + C) =
_ ^ In COS X
COS X
= cos x (tg x + C) = sin x + С cos ж. Используя начальные условия у = 1, х = 0, имеем
1 = sin 0 + С cos 0, откуда С = 1. Таким образом, искомое решение имеет вид
у = sin х + cos ж. А
Задача 1. Найти решение уравнения
dy
— + х у = х.
dx
Ответ: у = 1 + С е х2/2.
366
Гл. 17. Дифференциальные уравнения первого порядка
Задача 2. Найти решение уравнения
dy_ _ ху___2_ = 0
dx 1 + х2 1 + х2 ' удовлетворяющее начальному условию у = 3 при х = 0.
Ответ: у = 2 х + 3 л/1 + ж2 .
17.5. Уравнение Бернулли
Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка, не являясь линейными, могут быть приведены к линейным после предварительных преобразований. Примером может служить уравнение
y' + f(x)y = g(x)-yn, (17.12)
которое называется уравнением Бернулли.
При п = 1 уравнение (17.12) становится уравнением с разделяющимися переменными. При п = 0 уравнение (17.12) есть линейное уравнение. Если п — число, отличное от нуля и единицы, то при помощи подстановки z = у1~п уравнение (17.12) приводится к линейному уравнению относительно новой функции z.
Итак, пусть п ф 0, п ф 1. Введем новую функцию
z = y1~n,
(17.13)
тогда
z' = (1-п) у~п у'. Разделим обе части уравнения (17.12) на уп: y-ny' + f(x)y1-n = g(x).
Отсюда
z'/(l-n) + f(x)y = g(x),
или, что то же самое,
z' + (l-n)f(x)y = (l-n)g(x). (17.14)
Это уже линейное уравнение, решение которого описано в п. 17.4.
V Пример 1. Решить уравнение
у' + 1 = у21пж-
17.5. Уравнение Бернулли
367
Решение. Заданное уравнение является уравнением Бернулли (п = 2). После замены (17.13) оно приводится к уравнению (17.14). В нашем случае оно имеет вид
z--z = — In X.
X
Согласно (17.9) решение этого уравнения имеет вид z = e^lxdx ( (- In ж) e-^lxdx dx + C^j=x + Ci) •
Поскольку z = —, имеем у
v=x{-— + Cl)-
Положив Сi = С/2, окончательно получаем
2
У =
(In2 х + С)
Задача. Решить уравнение Бернулли
ху' - у = х3 у2.
Открытие исчисления бесконечно малых дало математикам возможность свести законы движения тел к аналитическим уравнениям.
Ж. Лагранж
Глава 18
Дифференциальные уравнения высшего порядка
18.1. Основные понятия
Рассмотрим одну из задач, связанную с дифференциальным уравнением второго порядка.
V Пример 1. На тело, движущееся по прямой, в направлении движения действует некоторая постоянная сила. Найти, как зависит путь, пройденный телом, от времени.
Решение. Обозначим длину пути через s, а время — через t. Постоянная сила вызывает постоянное ускорение, которое обозначим через д. Поскольку ускорение есть вторая производная пути по времени, получаем следующее дифференциальное уравнение:
Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Поскольку
где С\ — произвольная постоянная. Следовательно, скорость те-
ла — есть линейная функция времени. Если в начальный момент
d2s
^=9 =
то
ds , _
Tt=9t + Cl>
18.1. Основные понятия
369
времени (t = 0) скорость тела равнялась 0, то
в противном случае С\ — величина начальной скорости (s'(0) = = С\). После вторичного интегрирования получаем
где С<х — произвольная постоянная. Физический смысл постоянной С2 — путь, пройденным телом до момента времени t = 0. Если пройденный путь отмерять от того места, где тело находилось в момент t = 0, то С2 = 0. Если и начальная скорость С\ равна 0, то уравнение движения принимает вид
(уравнение свободного падения). Важно отметить, что в общем случае уравнение движения содержит независимые друг от друга произвольные постоянные: С\ и С<х- Это характерно для дифференциальных уравнений второго порядка. А
Рассмотренное дифференциальное уравнение является типичным обыкновенным дифференциальных уравнением второго порядка.
Вообще же, дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид
Если (18.1) разрешено относительно второй производной, то получаем уравнение
Как и в случае уравнения первого порядка, решением уравнения (18.2) называется функция у = у (ж), определенная на некотором интервале (а, 6), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется интегральной кривой.
Справедлива следующая
Теорема 1 (существования и единственности). Если функция f(x, у, у') — функция трех независимых переменных ж, у и у' — непрерывна в области, содержащей
s = s{t) = 9-±-+ Cxt + С2,
(18.1)
(18.2)
370 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
точку Мо(жо, Уо, у о), то дифференциальное уравнение
у" = f(x, у, у') (18.3)
имеет решение у = у(х) такое, что
у(х0) = уо, у(хо) = Уо- (18-4)
Ьсли, кроме того, непрерывны и частные производные — и
ду ду' '
то это решение уравнения единственно.
Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что при выполнении условий теоремы через заданную точку (жо, Уо) на координатной плоскости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом уо ее касательной.
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed